Tam Değer Fonksiyonu

x, bir gerçek (reel) sayı olmak üzere, x'ten büyük olmayan en büyük tamsayıya x'in tam değeri denir. Bunu ifade eden fonksiyona tam değer fonksiyonu denir. x reel sayısı, ardışık iki tamsayı arasında değişirken, bu tamsayılardan daha büyük olmayan tamsayı, x'in tam değerine eşit olur. Bütün tamsayıların tam değeri kendisine eşittir. Tam değer fonksiyonu, [[x]] işareti ile gösterilir. Tam değer fonksiyonu bazı matematik kitaplarında "kısım fonksiyonu" ismiyle de kullanılmıştır.

Signum (İşaret) Fonksiyonu

Reel sayıların bir alt kümesinden Reel sayılara tanımlanan bir f fonksiyonu için, fonksiyonun 0'dan büyük olduğu yerlerde değerini 1'e eşleyen, fonksiyonun 0'a eşit olduğu yerlerde fonksiyonun değerini 0'a eşleyen ve fonksiyonun 0'dan küçük olduğu yerlerde fonksiyonun değerini -1'e eşleyen fonksiyona, signum fonksiyonu denir. sgn ile gösterilir. signum olarak okunur. Signum fonksiyonun kritik noktaları, f(x)=0 denkleminin kökleridir. Signum fonksiyonun grafiği çizildiğinde, denklemin kökleri olan bu kritik noktalarda, grafik sıçrama yapar.

Periyodik Fonksiyonlar

Bir fonksiyon f(x) periyodik fonksiyon ise, grafiği çizildiğinde belli bir aralıkta aynı grafik sürekli olarak tekrar eder. Yani matematiksel olarak bir pozitif Reel sayı "$T$" için, fonksiyonun her $x$ değeri f(x+T)=f(x) oluyorsa  bu fonksiyon periyodiktir. Buradaki T sayısı da fonksiyonun periyodu olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, fonksiyonun grafiği T birim aralıklarla kendini tekrar eder. Örneğin, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında bu tekrar 2π birimlik aralıklarla gerçekleşir. Kısacası periyodik fonksiyon, belirli bir uzunluktan sonra aynı değerleri sürekli tekrar eder. Periyodik fonksiyonlar, sadece matematikte değil, fizik, mühendislik ve günlük hayatta da önemli uygulamalara sahiptir. Örneğin, ses dalgaları, elektrik devrelerindeki akımlar, mevsimlerin değişimi ve saatlerin hareketi gibi olaylar periyodik davranış gösterir. Ayrıca periyodik fonksiyonların grafikleri dalga biçiminde olup, temel periyodu bilindiğinde fonksiyonun tüm davranışı tahmin edilebilir. Bu özellik, mühendislikte sinyal analizi ve Fourier serileri gibi alanlarda çok faydalıdır.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun Periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 4’tür, yani her 4 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–4 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x) = x² olarak tanımlanırken, 4 ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x-4) olarak periyotla birlikte tanımlanmıştır, 4 ve 4'ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,4) aralığın değerlerini sürekli olarak tekrar ediyor.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 5’tir, yani her 5 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–5 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x)=3x+1 olurken, 5’ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x−5) şeklinde periyotla birlikte tanımlanmıştır. Böylece 5 ve 5’ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,5) aralığındaki değerleri sürekli olarak tekrar etmiş olur. Örneğin f(79) değeri bulunmak istenirse burada kalan bulma işleminden yararlanmak gerekir. Örnekte verilen fonksiyon her 5 birimde kendini tekrar ettiğinden 79 gibi 5’ten büyük bir x değeri bulunurken fonksiyonun değeri periyodun uzunluğuna göre küçültülür. Bunun için 79’u 5’e bölüp kalanı alırız: 79 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğundan aslında bu periyodik fonksiyon için f(79)=f(4) anlamına gelir. f(79)'un 0–5 aralığındaki değeri ile f(79) aynı değere sahiptir. Buna göre f(4) değeri 0–5 aralığında fonksiyon [f(x)=3x+1] kuralına göre f(4)=3⋅4+1=13 olarak bulunur. f(79)=f(4) olduğundan böylece f(79)=13 olur.

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Kısaca, trigonometrik fonksiyonlar açıların döngüsel doğasından dolayı periyodiktir; belirli bir açı artışında fonksiyonun değerleri tekrar eder.  

(Bkz. Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu)

Birebir ve Örten Fonksiyon

Bir fonksiyonun birebir olması için tanım kümesinde yer alan her elemanın görüntülerinin de farklı elemanlara eşlenmesi gerekmektedir. 

 

Değer kümesi ile görüntü kümesi birbirine eşit ise bu çeşit fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Yani değer kümesinde dışarıda boşta eleman kalmayan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Eğer değer kümesinde dışarıda en az bir eleman kalmış ise bu tür fonksiyonlara da içine fonksiyon denir.

Şimdi bu tanımları grafik üzerinde görebilmek adına bir örnek daha verelim. Burada dikkat edilmesi gereken nokta bire-bir fonksiyonların grafikleri çizildiğinde grafiği kesecek şekilde x-eksenine paralel doğrular çizilmesi durumunda fonksiyonun grafiği hiçbir zaman iki farklı nokta kesilmez. Eğer çizilen doğrular ile grafik birden fazla noktada kesişim yapıyorsa o zaman fonksiyon bire bir olmaz. (Yatay Doğru Testi)

Çift ve Tek Fonksiyon

Çift fonksiyonların grafiği y-eksenine göre simetriktir. Tek fonksiyonların grafiği ise orijine göre simetrik olur. Bir aralıkta tanımlı fonksiyon için tanım kümesinden seçilen aynı elemanın negatif ve pozitif değerleri için fonksiyon altındaki görüntüler de aynı oluyorsa bu fonksiyona çift fonksiyon denir. (tüm elemanlar için bu kural sağlanmalıdır.) 

Çift ve tek fonksiyonları anlamanın en kolay yolu grafiklerini çizip simetri kuralına bakmak olacaktır. Tek ya da çift fonksiyon birbirinin zıttı iki kavram gibi düşünülmemelidir. Bazen bir fonksiyon ne tek ne de çift olur. Aşağıdaki tanım ve örnekleri incelemeniz konuyu anlamanız açısından yeterli olacaktır. Özellikle tanımın iyi bilinmesi bu tür soruların çözümünde size kolaylık sağlayacaktır.

Verilen bir fonksiyon illaki tek ya da çift fonksiyon olmak zorunda değildir. Yani tek olmayan fonksiyona çift fonksiyondur diyemeyiz.