Periyodik Fonksiyonlar

Etiketler : fonksiyon fonksiyon çeşitleri matematik periyodik trigonometri trigonometrik fonksiyonlar

Bir fonksiyon f(x) periyodik fonksiyon ise, grafiği çizildiğinde belli bir aralıkta aynı grafik sürekli olarak tekrar eder. Yani matematiksel olarak bir pozitif Reel sayı "$T$" için, fonksiyonun her $x$ değeri f(x+T)=f(x) oluyorsa  bu fonksiyon periyodiktir. Buradaki T sayısı da fonksiyonun periyodu olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, fonksiyonun grafiği T birim aralıklarla kendini tekrar eder. Örneğin, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında bu tekrar 2π birimlik aralıklarla gerçekleşir. Kısacası periyodik fonksiyon, belirli bir uzunluktan sonra aynı değerleri sürekli tekrar eder. Periyodik fonksiyonlar, sadece matematikte değil, fizik, mühendislik ve günlük hayatta da önemli uygulamalara sahiptir. Örneğin, ses dalgaları, elektrik devrelerindeki akımlar, mevsimlerin değişimi ve saatlerin hareketi gibi olaylar periyodik davranış gösterir. Ayrıca periyodik fonksiyonların grafikleri dalga biçiminde olup, temel periyodu bilindiğinde fonksiyonun tüm davranışı tahmin edilebilir. Bu özellik, mühendislikte sinyal analizi ve Fourier serileri gibi alanlarda çok faydalıdır.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun Periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 4’tür, yani her 4 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–4 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x) = x² olarak tanımlanırken, 4 ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x-4) olarak periyotla birlikte tanımlanmıştır, 4 ve 4'ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,4) aralığın değerlerini sürekli olarak tekrar ediyor.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 5’tir, yani her 5 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–5 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x)=3x+1 olurken, 5’ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x−5) şeklinde periyotla birlikte tanımlanmıştır. Böylece 5 ve 5’ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,5) aralığındaki değerleri sürekli olarak tekrar etmiş olur. Örneğin f(79) değeri bulunmak istenirse burada kalan bulma işleminden yararlanmak gerekir. Örnekte verilen fonksiyon her 5 birimde kendini tekrar ettiğinden 79 gibi 5’ten büyük bir x değeri bulunurken fonksiyonun değeri periyodun uzunluğuna göre küçültülür. Bunun için 79’u 5’e bölüp kalanı alırız: 79 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğundan aslında bu periyodik fonksiyon için f(79)=f(4) anlamına gelir. f(79)'un 0–5 aralığındaki değeri ile f(79) aynı değere sahiptir. Buna göre f(4) değeri 0–5 aralığında fonksiyon [f(x)=3x+1] kuralına göre f(4)=3⋅4+1=13 olarak bulunur. f(79)=f(4) olduğundan böylece f(79)=13 olur.

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Kısaca, trigonometrik fonksiyonlar açıların döngüsel doğasından dolayı periyodiktir; belirli bir açı artışında fonksiyonun değerleri tekrar eder.  

(Bkz. Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu)