ÖSYM Logaritma Çıkmış Sorular

ÖSYM Logaritma Çıkmış Sorular 2006 yılından itibaren sorulan logaritma konusu ile alakalı tüm sorulara ve cevaplara buradan ulaşabilirsiniz. 

2006 tarihinden sonraki Logaritma sorularını PDF olarak indirmek için tıklayınız. 

(2006 Öncesi) LYS-ÖSS gibi sınavlarda çıkmış logaritma sorularına ulaşmak için tıklayınız.

 

Diğer ÖSYM sınav sorularına ve güncel bilgilere ulaşmak için ÖSYM resmi sitesini kullanınız.
Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.
https://www.osym.gov.tr/

Kologaritma

Kologaritma, gerçek sayılar kümesinde (R) tanımlı olan bir x sayısının çarpmaya göre tersinin logaritmasıdır. A sayısının kologaritması cologA ile gösterirlir. Buna göre bir sayının kologaritması şu şekilde tanımlanır.: cologx= - logx Kologaritmanın kullanıldığı yerlerden biri pH hesaplamalarıdır. 

pH, sulu çözeltilerde hidrojen iyonu aktivitesi için çok önemli bir rol oynar. Kimyada, çözünmüş hidrojen iyonu aktivitesinin ölçüsüne pH denir. pH bir çözeltinin asitlik veya bazlık derecesini tarif eden bir ölçü
birimidir. pH=7 iken çözelti nötr kabul edilir. pH>7 olduğu zaman çözelti bazik olur. pH<7 olduğu zaman da çözelti asidik olur. Suda iyonlaştığında "hidrojen" iyonu (H⁺) veren maddelere Latince ekşi anlamına gelen "asit" denir. Bazlar ise suda iyonlaştığında çözeltiye "hidroksil" (OH^-) iyonu verirler.

ÖRNEK:

log3= 0.477 ise colog3= -log3= -0.477= Bu ifade karakteristik ve mantis kullanılarak da yazılabilir. -0.477+1-1 =olur. -1+0,523 (Bkz. Karakteristik ve Mantis)

ÖRNEK: 0,055 M HNO3 çözeltisinin pH’ını hesaplayınız.

Çözüm: HNO3 kuvvetli asittir. 𝐻𝑁𝑂3 → 𝐻 + 𝑁𝑂3 denkleminde son çözeltide H+’nın konsantrasyonu 0,055 M olur. pH=-log[H+]=-log(0,055)=1,26<7 olduğundan asidiktir.

ÖRNEK: 0,10 M NaOH’un pH’ını hesaplayınız 

Çözüm: NaOH kuvvetli baz olduğundan pOH hesabı üzerinden gidilir. NaOH → Na + OH Çözünme denklemine göre son çözeltideki OH- konsantrasyonu 0,10 M’dır. pOH = -log[OH-] = -log(0,10) = 1,00 olur.  Bu durumda pH=14-pOH=14-1=13

ÖRNEK:Bir çözeltinin pH’ı 6,88’dir. H+ ve OH- konsantrasyonlarını ve pOH’ı bulunuz.

Çözüm: pH=-log[H+] olduğundan [H+]=(10^-pH)=(10^-6,88) =1,32 x 10^-7 M bulunur.  pOH=14-6,88=7,12 buradan da [OH^-]=(10^-pH)=10^-7,12 =7,59 x 10^-8 M olur.

Logaritma Mantisi ve Karakteristiği

Herhangi bir tam sayının logaritması, birisi tam sayı diğeri de kesirli kısımdan ibaret olmak üzere iki parçadan ibarettir. Yani herhangi bir tabanda logaritma alınırken sonuç ya tamsayı olarak çıkar ya da tam ve ondalıklı kısım olarak iki parçalı olarak çıkar. Logaritma hesaplandıktan sonra ortaya çıkan sonuçta tamsayı parçasına "logaritmanın karakteristiği" adı verilir. Onluk tabanda yazılan bir tam sayının logaritması alındığında, onun kuvvetleri şeklinde yazılabilen parçasının 10'un tam kuvvetlerine göre benzetilmesiyle karakteristik hesaplanır. 

Logaritma karakteristiği, bir sayının onluk tabandaki değerinin basamak rakamları sayısının bir eksiği kadar olur. Yani herhangi bir sayının basamak sayısı verildiğinde, bu sayının onluk tabandaki logaritmasının karakteristiği, o sayının basamak sayısının 1 eksiği kadar olacaktır. 

ÖRNEK:

576 sayısının karakteristiği sayı 3 basamaklı olduğundan karakteristik 2 olacaktır. Çünkü 576 sayısı 10'un kuvvetlerine göre yazıldığında 10'un 2. kuvveti ile 10'un 3 kuvveti arasında yer alacağından log576 değeri hesap makinesinden veya logaritma cetvellerinden log576=2.7604224 hesaplanır ki bu durumda tam kısım 2 olduğundan karakteristik de 2 olarak bulunur. 

 

ÖRNEK:

9326 sayısının karakteristiği sayı 4 basamaklı olduğundan karakteristik 3 olur. log9326 değeri hesap makinesi ile hesaplandığında log9326=3.9696954 olduğundan tam kısım 3 bulunduğu için karakteristik 3 olur. 

 

Logaritma hesaplandığında bulunan sonuçta ondalıklı kısma logaritmanın mantisi denir. Logaritma mantisleri hesaplanarak logaritma cetvelleri oluşturulur. Logaritma cetvellerinde sayıların yanlarında gösterilen logaritma değerleri yalnızca hesaplanan bu mantis değerlerinden ibarettir. Logaritma cetvellerinde tam kısımlar yer almaz. 1'den küçük sayıların onluk tabanda logaritmaları hesaplanırken onun negatif kuvvetleri olacağından tam sayıdan sonra sonuçlanan kesirli ifadelerde 0 tam sayısından sonra virgülden itibaren ondalıklı kısım yer alır. Mantis negatif olamaz. Negatif olamayacağı için logaritması bulunan sonuca ifadeye (+1) ve (–1) eklenir. 

 

Logaritma tabloları (logaritma cetvelleri) ondalıklı kısım olarak belli bir adede göre verilmiştir. Gerçekte ise logaritma cetvelleri hesap makinelerinden bulunan sonuçlara göre çok daha fazla ondalıklı basamağı içerir. Elektronik hesap makinaları yaygınlaşmadan önce, yani 20. yüzyılın ikinci yarısına kadar mühendislik kitaplarında logaritma cetvellerine yer verilmiştir.

 

ÖRNEK:

log9326=3.9696954 olduğundan tam kısım 3 bulunduğu için karakteristik 3 ve mantis değeri de 0,9696954 olur.  

 

ÖRNEK:

Bir sayının logaritması loga = 1,541 ise loga ifadesinde tam kısım(karakteristik) 1, ondalık kısım (mantis) 0,541 olarak görülür.

 

Karakteristik ve mantiste karıştırılan bir durum logaritmanın değerinin negatif olduğu durumdur. Mantis kullanım yararı açısından her zaman pozitif olarak gösterilmesi gerekir. Dolayısıyla logx=-1,4 ise burada karakteristik -1 ve mantis de -0,4 şeklinde yazılmaz. Mantisi düzgün olarak ifade etmek istediğimizde negatif bir tam sayıya, pozitif bir ondalık sayı eklediğimizde -1,4 sayısını bulmalıyız. Bunun için basit bir çıkarma işlemi yaparsak -1,4= -2+0,6 olarak yazılırsa Karakteristik -2 ve mantis de 0,6 olarak bulunur. Demek ki logaritma değeri negatif ise tam kısımdan 1 çıkarılır ve ondalık kısıma da 1 eklenmesi gerekir. (-1,4)= (-1)+(-0,4)= (-2)+(0,6) Karakteristiğin -2 ve mantisin 0,6 olduğu gösterilir. 

 

****1 den büyük bir sayının logaritmasının karakteristiği, bu sayının tam kısmının basamak sayısının 1 eksiğidir.

 

log83576= 4.9220815 olduğundan karakteristiği 4 ve mantisi de 0,9220815 olur.

****0 ile 1 arasındaki bir sayının logaritmasının karakteristiği, sayının ondalık yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki tüm sıfırların sayısının negatif işaretlisidir.

log0,03=-1.52287874528=-2+0.47712125 şeklinde yazılması ile mantis değeri 0.47712125 olur.

****Bir sayının logaritmasının karakteristiği negatif ise, karakteristik pozitif olarak yazılır ve tam kısım üzerine (–) işareti konulur.

 

Büyük bir sayının basamak sayısı bulunurken sayının verilen tabana göre logaritması alınır. Gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra logaritma cetvelinden bulunan değerle çarpma işlemleri yapılarak büyük sayının logaritma sonucu hesaplanmış olur. Hesaplanan logaritma sonucuna göre sayının basamak değeri, karakteristiğin bir fazlası alınarak bulunur.

Logaritma nerede kullanılır?

Logaritma, matematikte ve diğer bilim dallarında kullanılan önemli bir kavramdır. Logaritma, matematikte özellikle büyük sayılar ve karmaşık hesaplamaların daha basit şekilde ifade edilmesi için kullanılır. Bilimsel hesaplamalar, mühendislik, istatistik, ekonomi gibi alanlarda da sıkça karşımıza çıkar. Logaritma, sayılar ve oranlar arasındaki ilişkileri daha okunaklı bir şekilde ifade etmek, hesaplama adımlarını kolaylaştırmak için epey yardımcı olur. Logaritma ayrıca ses, ışık ve elektrik dalgalarının ölçülmesinde de önemli bir rol oynar. Ses ve elektrik mühendisliği alanlarında logaritma kullanılarak ses seviyeleri, voltaj düşüşleri ve amplifikasyon faktörleri hesaplanır. Optik alanında, ışığın yoğunluğunu, optik filtrelerin etkinliğini ve görüntü işleme algoritmalarında logaritma sıklıkla kullanılır. Coğrafyada, deprem şiddetinin ölçülmesinde Richter ölçeği logaritmik bir ölçek kullanır. Yani logaritma, genel olarak birçok bilim ve mühendislik disiplininde karmaşık verileri daha anlaşılır bir şekilde analiz etmek için yaygın olarak kullanılan önemli bir araçtır.

Logaritma ve üstel fonkiyonun integrali

Üstel ve logaritma biçiminde verilen fonksiyonların integrali hesaplanırken, üstel ve logaritma fonksiyon özelliklerinden yararlanılır. Türevden yararlanarak üstel fonksiyon ve logaritmanın integral kuralları oluşturulabilir. (Bkz: Logaritma Türevi)

 

Bazı durumlarda integral alma işleminde değişken değiştirme yöntemi kullanılır. Değişken değiştirme yönteminde hangi parçaya u deneceği ve bunun diferansiyelinin alınması son derece önemlidir.  Değişken değiştirme yöntemi ile integral alma kurallarında verilen integral formuna dönüştürülen logaritma fonksiyonun integrali, aşağıdaki formüller yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir.

 

 

 

lnx gibi bazı fonksiyonların integrali alınırken kısmi integrasyon metodundan yararlanılır. (Bkz: Kısmi İntegrasyon Metodu)

Logaritma ÖSYS Soruları

Logaritma ile ilgili ÖSYM tarafından geçmiş yıllarda üniversite seçme/giriş sınavlarındaki sorulardan yayınlanmış olan soruları incelemek için tıklayın...

Logaritma Fonksiyonu Türevi

Logaritma fonksiyonun türevinin ispatı yapılırken logaritma özellikleri kullanılırken ayrıca özel olarak limitin e sayısını verdiği eşitlikten yararlanılır. e sayısı matematikte özel bir sayıdır. e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır; fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir.
Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "e sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur.Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e sayısının irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.