Eş veya benzer üçgenlerde yardımcı elemanlar

Bütün kenarları ve bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit olan üçgenelere, eş üçgenler denir. Sonuç olarak; "Eş üçgenlerde, eş açılar karşısında eş kenarlar ve eş kenarlar kaşısında da eş açılar bulunur." Eş üçgenlerde karşılıklı açı ve kenar uzunlukları eşit olduğu gibi iki eş üçgende yardımcı elemanlar olan yükseklik, kenarortay ve açıortay da birbirine eşit uzunluktadır.

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Üçgenin yardımcı elemanları, kenarortay, yükseklik ve açıortaydır. Taban açıları birbirne eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende, eş açıların karşısındaki kenarların uzunlukları birbirine eşittir. İkizkenarlara ait, yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunlukları, karşılıklı olarak birbirine eşittir.  

Eşkenar üçgen ve özellikleri

Üç kenar uzunluğu ve bütün iç açıları ölçüleri, birbirine eşit olan üçgene; eşkenar üçgen adı verilir. Eşkenar üçgende, tüm iç açıları ölçüleri: 60 derecedir. Tüm dış açıların ölçüleri ise 120 derecedir.

ikizkenar üçgen ve özellikleri

İki kenarı ve bunlara ait iki iç açıları eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgeni daha iyi anlamak için küçük bir etkinlik yapalım. Bir Dikdörtgen kağıt parçası alalım ve tam ortasından ikiye katlayalım. Üst katlanmış köşeden alt kenara bir çizgi çizip karşı köşelerini bu çizgi doğrultusunda katlayalım. Kağıdı açtığımızda bir üçgen şekli görebiliriz. 

Üçgenin köşelerini O, D ve C olarak işaretleyelim. Şimdi burada [OD] ve [OC] uzunluklarını cetvelle ölçelim. Bu etkinliği farklı ölçülere sahip çeşitli dikdörtgenler üzerinde de aynı şekilde deneyebilirsiniz. Her seferinde [OD] ve [OC] uzunluklarının eşit uzunlukta olduğunu görebiliriz. İki kenarı eşit olan bu tür üçgenlere ikizkenar üçgen denir .

Üçgenin Kenarorta Dikmeleri

Üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasından geçen ve bu kenara dik olan doğru parçasına "kenar orta dikme" denir. Üçgenin kenar orta dikmeleri bir noktada kesişir.  Bu kesişim noktası, üçgenin iç bölgesinde veya dış bölgesinde olabilir.

Üçgenin iç bölgesinde, üzerinde veya üçgenin dış bölgesinde orta dikmeler kesişebilir. Üçgen; dar açılı bir üçgen ise üçgenin iç bölgesinde, üçgen, dik açılı bir üçgen ise üçgenin üzerinde, üçgen; geniş açılı bir üçgen ise üçgenin dış bölgesinde orta dikmeler kesişir. 

Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır ve bunun karşıtı da doğrudur.

TEOREM:Orta dikmeler üçgenin köşe nktalarından geçmek zorunda değildir. Eğer bir üçgende herhangi bir kenara ait orta dikme, üçgenin köşesinden geçiyorsa bu üçgen ikizkenar üçgendir.

TEOREM: Orta dikmelerin kesim noktasından, üçgenin köşelerine birer doğru parçası çizildiğinde üç köşeye de çizilen doğru parçalarının uuznlukları birbirine eşit olur.

Üçgende Alan Bağıntıları

Üçgenin alanı için yüksekliğin bilinmesi gerekebilir. Bir üçgenin herhangi bir köşesinden, karşı kenarına indirilen dikmenin karşı kenarı kestiği nokta ile köşeyi birleştiren doğru parçasına, üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir. Üçgenin yükseklikleri, üçgenin çeşidine göre( dar açılı, dik açılı veya geniş açılı) üçgenin iç bölgesinde, üçgenin dış bölgesinde veya ügenin üzerinde kesişebilir. Geniş açılı üçgenlerde yüksekliğin, tabanın uzantısından çizileceğini unutmayınız.

Bir Üçgenin Yükseklikleri ve Kesim Noktası

Bir üçgenin herhangi bir köşesinden, karşı kenarına indirilen dikmenin karşı kenarı kestiği nokta ile köşeyi birleştiren doğru parçasına, üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir.

Bir üçgende üç yükseklik bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.Bir üçgende bir köşeye ait yüksekliğin karşı kenarı kestiği noktaya o köşeye ait dikme ayağı denir.Bir ABC üçgeninde A noktasından BC kenarına bir doğru parçası çizilip bu nokta H noktası ile gösterilirse H noktası A köşesine ait dikme ayağıdır. [AH] doğru parçası; yükseklik olur ve bu doğru parçasının ölçüsü, |AH|  olarak yükseklik uzunluğunu gösterir.  Bu durum sembolle |AH|=h biçiminde gösterilebilir.  Yukarıda belirtilen üç farklı açıya ait üçgen çizimlerinde yükseklikler çizilmiştir. Sırasıyla şekiller incelenirse; Geniş açılı bir üçgende yükseklikler kenarların uzantısı üzerinden yani üçgenin dış bölgesinde çizilir. Dik açılı bir üçgende dik kenarlar aynı zamanda o kenarlara ait yükseklikler olur. Dar açılı bir üçgende ise yükseklikler üçgenin iç bölgesinde tek bir noktada kesişir.

Bir üçgende bir köşeden karşı kenara indirilen dikme ayağının koordinatları; 1-Dik izdüşüm, 2-Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulma, 3-Bir kenar ve buna dik olan yüksekliğin ara kesitini bulma yöntemlerinden biri ile bulunur.Dik koordinat düzleminde noktalar alınarak üçgenin yüksekliklerinin tek noktada kesiştiği gösterilebilir.Ayrıca geometriden yararlanılarak da ispat yapılabilir.

Üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini, Karnot ve Seva teoremleriyle ispatlayarak da gösterebiliriz. Bu yazılarımız için aşağıdaki linklere tıklayabilirsiniz.

Bir Üçgenin Yükseklikleri ve Kesim Noktası seva teoremi ve uygulaması

Bir Üçgenin Yükseklikleri ve Kesim Noktası carnot teoremi ve uygulaması