İmsak tartışmalarının matematiği

Ramazan ayı; sabrın, paylaşmanın ve maneviyatın en yoğun şekilde hissedildiği mübarek bir zaman dilimidir. Bu ayda insan hem bedenini hem de ruhunu terbiye eder; ibadetle, dua ve güzel niyetlerle kendini yeniler. Oruç, insana irade gücü kazandırırken aynı zamanda zamanı daha bilinçli kullanmayı öğretir. Bu nedenle Ramazan-ı Şerif bir yenilenme vakti olup, ömrün kalan günlerine enerji yüklü olarak başlamak için büyük bir fırsattır. Oruç, bu ayın en önemli hususiyetidir. "(O sayılı günler), insanlar için bir hidayet rehberi, doğru yolun ve hak ile batılı birbirinden ayırmanın apaçık delilleri olarak Kur’an’ın kendisinde indirildiği Ramazan ayıdır. Öyle ise içinizden kim bu aya ulaşırsa, onu oruçla geçirsin. Kim de hasta veya yolcu olursa, tutamadığı günler sayısınca başka günlerde tutsun. Allah, size kolaylık diler, zorluk dilemez. Bu da sayıyı tamamlamanız ve hidayete ulaştırmasına karşılık Allah’ı yüceltmeniz ve şükretmeniz içindir." (Bakara Suresi, 185) ayeti kerimesi ile Allah, orucu müslümanlara emretmiştir. Orucun vakti ve mahiyeti de yine başka bir ayette "...Allah'ın sizin için takdir ettiğini dileyin. Tan yerinde, beyaz iplik siyah iplikten sizce ayırdedilinceye kadar, yiyin için, sonra orucu geceye kadar tamamlayın..." (Bakara Suresi, 187) şeklinde aktarılmıştır. Buradaki ayeti celilede müthiş bir teşbihle, "beyaz iplik-siyah iplik" biçiminde gece ile gündüz arasında vakit tayini yapılır. Bu ayetin nüzulundan sonra sahabelerden Adiy b. Hâtim'in (r.a) şöyle dediği rivayet edilir. “Bir siyah diğeri beyaz iki tane ip alıp, bunları yastığımın altına koydum. Sahurda bunlara bakıyor, birbirinden ayırdedilecek kadar tan yeri ağarınca yemeği içmeyi bırakıyordum. Sabah olunca, Resulullah (s.a.v)'a gidip yaptığım şeyi ona anlattım." Rasulullah (s.a.v) de şöyle buyurdu: "Senin yastığın ne kadar da büyükmüş! Ayette kastedilen, gündüzün beyazlığı ve gecenin siyahlığıdır. Bunları bir yastığın altına nasıl sığdırırsın'!" (Buhârî, Savm, 16) buyurmuştur.  Bu hadis-i şerifte Rasulullah (s.a.v) bir yanlış anlamayı düzeltmiş ve oruç için vaktin nasıl olacağını yani imsak zamanını tayin etmiştir. Oruca başlama vakti olan imsak, aynı zamanda sabah namazının kılınma vaktinin de başlangıcını teşkil edeceğinden bu vaktin belirlenmesi, oldukça mühim bir meseledir. Doğal olarak böyle önemli bir vakit, müslümanlar arasında ihtilaflara neden olmuş ve bu vesileyle üzerinde çeşitli ilmi çalışmalar yapılmıştır. Vakit hassasiyeti sebebiyle müslüman ilim adamları matematik ve astronomide ciddi ilerlemeler katetmişlerdir. 

Konuyu matematiksel hesaplamalar ve örneklerle günümüz uygulamaları eşliğinde biraz izah etmeye çalışalım.

 

 

Trigonometri Açı Modülleri Programı

Trigonometri Açı Modülleri Programı, özellikle öğretmenlere trigonometri alanında çeşitli etkinlikler ve uygulamalar hazırlamada kolaylık sağlamak amacıyla geliştirilmiştir. Açı birimlerinin dönüşümleri, toplama-çıkarma işlemleri ve çarpma işlemleri gibi temel trigonometri konularını kapsayan modüller sayesinde, öğretmenler hızlıca soru ve cevap PDF dosyaları oluşturabilirler. Böylece sınıf içi etkinlikler, bireysel çalışmalar ve sınav hazırlıkları için pratik materyaller oluşturmak çok daha kolay hale gelir.

Trigonometri Açı Modülleri Programı, Python programlama dili ve Tkinter kütüphanesi kullanılarak geliştirilmiştir. Tkinter, Python’un standart GUI (grafik kullanıcı arayüzü) kütüphanesi olup, platformlar arası uyumluluk sağlar ve kolay arayüz tasarımı yapmaya olanak tanır. PDF dosyalarının oluşturulması için ise ReportLab kütüphanesi kullanılmıştır. Program, Windows, macOS ve Linux gibi farklı işletim sistemlerinde çalışabilir. Python’un esnekliği sayesinde hem eğitim hem de profesyonel amaçlarla rahatlıkla kullanılabilecek bir araç olarak tasarlanmıştır. 

Trigonometri Açı İşlemleri Modülü

Trigonometri Açı İşlemleri modülü, ihtiyaca binaen yazılmış küçük bir modüldür. Temel trigonometrik açı işlemlerini kolay ve hızlı bir şekilde gerçekleştirmek amacıyla geliştirilmiş kapsamlı bir araçtır. Kullanıcı dostu arayüzü sayesinde, trigonometrik hesaplamalarla uğraşan öğrencilerden mühendis ve matematikçilere kadar herkes için basit hesaplamaları zorlanmadan yapar. Açıyı saniyeden dereceye dönüştürme, girilen açının trigonometrik fonksiyon değerlerini hesaplama, girilen iki açı için açılar üzerinde toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri yapma ve basit trigonometrik fonksiyon grafik çizimleri gibi işlemleri kolayca yapabilir. Program, trigonometrik fonksiyonların grafiklerini görsel olarak çizme imkânı da sunarak, matematiksel kavramların görselleştirilmesini sağlar.

Trigonometri Hesaplama Aracı

Trigonometri Açı İşlemleri Modülü, kullanıcıların açılarla ilgili temel trigonometrik hesaplamaları hızlı ve doğru bir şekilde yapmasını sağlayan pratik bir araçtır. Öğrencilerden mühendis ve matematik uzmanlarına kadar geniş bir kullanıcı kitlesine hitap eder. Modül, açıları toplama, çıkarma, dereceden radyana veya radyandan dereceye dönüştürme gibi işlemleri kolaylaştırır ve karmaşık trigonometrik hesaplamaları basitleştirir. Kullanıcı dostu tasarımı sayesinde, işlemler birkaç adımda tamamlanabilir ve hata yapma riski minimuma indirilir.

Trigonometri Açı İşlemleri ve Grafik Çizimi programının PYTHON Koduna ulaşmak için daha önceki yazımıza başvurabilirsiniz.

Modül 1: Saniyeyi Derece/Dakika/Saniyeye Çevir

Saniye:

Modül 2: Açıdan Sin, Cos, Tan, Cot Hesapla

Açı:

Derece Radyan

Modül 3: Açının Esas Ölçüsü

Açı (°):

Modül 4: DMS Açı Toplama / Çıkarma / Çarpma

1. Açı
D: M: S:

2. Açı
D: M: S:

Toplama Çıkarma Çarpma

Açı İşlemleri ve Grafik Çizimi Programı (Kod)

Trigonometri Açı İşlemleri ve Grafik Çizimi  programı, ihtiyaca binaen yazılmış küçük bir modüldür. Temel trigonometrik açı işlemlerini kolay ve hızlı bir şekilde gerçekleştirmek amacıyla geliştirilmiş kapsamlı bir araçtır. Kullanıcı dostu arayüzü sayesinde, trigonometrik hesaplamalarla uğraşan öğrencilerden mühendis ve matematikçilere kadar herkes için basit hesaplamaları zorlanmadan yapar. Açıyı saniyeden dereceye dönüştürme, girilen açının trigonometrik fonksiyon değerlerini hesaplama, girilen iki açı için açılar üzerinde toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri yapma ve basit  trigonometrik fonksiyon grafik çizimleri gibi işlemleri kolayca yapabilir. Program, trigonometrik fonksiyonların grafiklerini görsel olarak çizme imkânı da sunarak, matematiksel kavramların görselleştirilmesini sağlar.

 

Pisagor teoeremine yeni bir ispat

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir bağıntıdır. Pisagor teoreminde, hipotenüsün (dik üçgenin en uzun kenarı) uzunluğunun karesinin, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olduğu belirtilir. Bu teorem, antik Yunan filozofu Pisagor'un adı ile literatürde yer almıştır. Teoremin çok çeşitli ispatları yapılmıştır. Daha önceki yazılarımızda konu ile ilgili ayrıntılı bilgiler verilmiştir.  (Bkz. Pisagor teoremi ispatı) Bu yazıda, Amerika'daki iki genç yetenekten (Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson) süzülen farklı bir bakış açısı sunulmuştur.

 

Günümüzde bu teoreme yeni bir ispat metodu olarak; trigonometik yoldan ispatlama çalışması yapılmış ve bu yeni ispat matematik literatürüne kazandırılmıştır. New Orleans'taki St. Mary's Akademisi'nde son sınıf öğrencisi olan Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, okulda düzenlenen bir matematik yarışmasında Pisagor'un ispatı için yeni bir kanıt buldular. Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, Amerikan Matematik Derneği'nin bir toplantısında, buldukları bu ispatı, Pisagor Teoremi'nin yeni bir trigonometrik ispatı olarak jüriye sundular. Pisagor teoreminin trigonometrik ispatlarının bir zamanlar imkansız olduğu düşünülmesine rağmen, iki azimli lise öğrencisi tarafından bunun mümkün olduğu bir makale ile gösterilmiştir. 

sin²x+cos²x=1 özdeşliği ispatı

Birim çember üzerinden gösterilen en temel trigonometrik özdeşlik sin²x+cos²x=1 farklı bir bakış açısıyla çemberdeki açılar yardımıyla da gösterilebilinir. Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir. Buna göre Şekildeki sarı renkle gösterilen yayı gören açıların ölçüleri birbirine eşittir. Bu eşit ölçülü açıların tanjant değerleri yazılıp birbirine eşitlendiğinde trigonometrinin en temel özdeşliği olan sin²x+cos²x=1 özdeşliği elde edilmiş olur.

Normalde bu trigonometrik özdeşlik çember üzerindeki herhangi bir noktanın apsis ve ordinatları açı cinsinden yazıldıktan sonra pisagor teoremi yardımıyla gösteriliyordu. Burada sadece aynı açıların eğimleri (tanjant oranları) gösterilerek pisagor teoremine gerek kalmadan ispatlama yapılmıştır.

ÖSYM Trigonometri Çıkmış Sorular

ÖSYM Trigonometri Çıkmış Sorular: Müfredat değişikliğinden dolayı çok fazla kısmın kaldırıldığı trigonometri ünitesinden sadece AYT sınavında sorulan sorular yer almaktadır. 2018 yılından itibaren AYT sınavlarında sorulan trigonometri konusu ile alakalı tüm sorulara ve cevaplara buradan ulaşabilirsiniz. 

2006 tarihinden sonraki Trigonometri sorularını PDF olarak indirmek için tıklayınız. 

(2006 Öncesi) LYS-ÖSS gibi sınavlarda çıkmış trigonometri logaritma sorularına ulaşmak için tıklayınız.

 

Diğer ÖSYM sınav sorularına ve güncel bilgilere ulaşmak için ÖSYM resmi sitesini kullanınız.
Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.
https://www.osym.gov.tr/

Çemberin parametrik denklemi

Bir çemberin parametrik denklemi, genellikle merkez koordinatları ve yarıçapına bağlı olarak trigonometriden yararlanılarak yazılır. Bir çemberin merkezi (a,b) ve yarıçapı r ise bu çemberin parametrik denklemi t bir açı olmak üzere: x(t)=a+r.cos⁡(t) ve y(t)=b+r.sin⁡(t) şeklindedir. Merkezil çemberin merkezi M(0,0) orijindir.

Trigonometri nerede kullanılır?

Trigonometri, matematikte ve mühendislikte sıklıkla kullanılan bir bilim dalıdır. Trigonometri, üçgenlerin açıları ve kenarları arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik konusudur. Pratikte trigonometri, karmaşık geometri problemlerini çözmede, açıları ve mesafeleri hesaplamada, dalga analizinde, mühendislik projelerinde, bilgisayar grafiklerinde, astronomik hesaplamalarda ve fizik problemlerinde yaygın olarak kullanılır. Astronomi, jeodezi, coğrafya ve mimarlık gibi birçok alanda da trigonometriye çok fazla ihtiyaç duyulmaktadır.

Trigonometri, grafik çizimi, açı hesabı ve doğrusal olmayan farklı tipteki problemleri çözmede çok faydalıdır ve özellikle dalgalı hareketleri, periyodik olayları veya dairesel hareketleri modellemek için kullanılır. Bu nedenle ses mühendisliği, elektrik mühendisliği, havacılık, denizcilik gibi alanlarda trigonometri önemli bir rol oynar. Ayrıca trigonometri, GPS ve uydu iletişimi gibi modern teknolojilerde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu nedenle, trigonometri pek çok alanda hayati bir öneme sahiptir.

Ters trigonometrik fonksiyonların integrali

Ters trigonometrik fonksiyon biçiminde verilen fonksiyonlarda dik üçgen çiziminden yararlanarak dönüşüm yapılabilir. Bu şekilde elde edilen belirsiz integral, integral alma kuralları yardımıyla hesaplanır.

 

İntegrali alınacak fonksiyonun paydasındaki ifadenin ters trigonometrik fonksiyonların integralindeki forma dönüşebilmesi için paydaya uygun sayılar eklenir ya da çıkarılır bunun sonucunda elde edilen integral istenen biçime dönüştürülür daha sonra integral değeri hesaplanır. 

 

Trigonometrik fonksiyonların integrali

Trigonometrik fonksiyonların integrali hesaplanırken öncelikle verilen integral değişken değiştirme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla uygun bir forma dönüştürülür daha sonra integral alma kuralları kullanılarak integral değeri hesaplanır.

 

 

Bazı trigonometrik integralde sadece değişken değiştirme işlemi sorunun çözümü için yetmeyebilir. Bu durumda integrali alınacak fonksiyon; trigonometrik özdeşlikler, yarım açı formülleri, toplam ve fark formülleri, dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri kullanılarak daha basit bir forma dönüştürülür sonra integral alma işlemi yapılır. Aşağıdaki örnekte verilen fonksiyonun integrali alınırken sinü fonksiyonun yarım açı formülü kullanılarak integral daha basit bir forma dönüştürülmüş daha sonra değişken değiştirme işlemi ile integral hesabı yapılmıştır.

Sinüs veya cosinüs fonksiyonların çift kuvvetleri biçiminde verilen integrallerde derece trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düşürülerek integral basit forma indirgenir. Örneğin sin²x ve cos²x fonksiyonlarının integrali hesaplanırken, yarım açı formüllerinden yararlanarak fonksiyonun derecesi düşürülür. Sonra bilinen integral alma kuralları kullanılarak integral değeri hesaplanır.

 

Sinüs veya cosinüs fonksiyonların tek kuvvetleri biçiminde verilen integraller, önce çift dereceli ve tek dereceli olacak biçimde iki çarpan halinde yazılır. Örneğin sin³x fonksiyonu sin²x ve sinx fonksiyonlarının çarpımı biçiminde olduğundan sin³x=sin²x.sinx şeklinde yazılır.  Daha sonra trigonometrik özdeşlik kullanılarak sin²x=1-cos²x yardımıyla integral basit bir forma dönüştürülür. Benzer şekilde cos³x fonksiyonu cos²x ve cosx fonksiyonlarının çarpımı biçiminde olduğundan cos³x=cos²x.cosx şeklinde yazılır.  Daha sonra trigonometrik özdeşlik kullanılarak cos²x=1-sin²x yardımıyla integral basit bir forma dönüştürülür.

 

 

 

Bazı trigonometrik fonksiyonların integralinde ters dönüşüm formüllerinden yararlanmak gerekebilir. Bu durumdafonksiyon öncelikle ters dönüşüm formülü kullanılarak uygun forma dönüştürülür daha sonra integral değeri hesaplanır.

Lineer Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Lineer Trigonometrik Denklemler: sin ve cos fonksiyonlarına bağlı olarak verilen birinci dereceden tek değişkenli a, b ve c sıfırdan farklı reel katsayılar olmak üzere aynı dereceden a.sinx+b.cosx=c şeklindeki denklemlere lineer(doğrusal) trigonometrik denklem adı verilir. Bu tip denklemlerin çözümünde eşitliğin her iki tarafı sinx (veya cosx) katsayısı olan a (veya b) ile bölünür, buna göre tekrar yazılan trigonometrik denklem gerekli özdeşlikler kullanılarak temel denklemlere dönüştürülür. (Bknz: Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi)

Homojen Trigonometrik Denklemler

sin ve cos fonksiyonlarına bağlı olarak verilen birinci veya ikinci dereceden tek değişkenli a ve b reel katsayılar olmak üzere aynı dereceden a.sinx+bcosx=0 şeklindeki denklemlere homojen denklem denir. Bu denklemlerin çözüm kümeleri bulunurken denklemler, tanjant veya cotanjant denklemlerine dönüştürülmeye çalışılır. Bunun için denklemin her iki tarafı sinx veya cosx ile taraf tarafa bölünür. (Bknz: Trigonometrik Denklemlerin Çözüm Kümesi)

Temel Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Trigonometrik fonksiyonlarla birlikte verilen denklemlerin çözüm kümelerinin bulunmasında trigonometrik fonksiyonların genel özelliklerinden ve birim çemberden yararlanılır. (Bknz. Trigonometrik Fonksiyonlar) Verilen açı ölçülerinin birim çember üzerinde gösterilmesi ve bu açı değerine esas ölçü olarak eşit olan diğer açıların da varlığının kabul edilmesi ile trigonometrik denklemlerin genel çözümleri yazılır. (Bknz: Birim Çember)

Tanjant Teoremi ve İspatı

Bir ABC üçgeninde iç açılar; A, B, ve C olmak üzere bunlardan B ve C açıları ve bunlara ait kenar uzunlukları verildiğinde b>c olmak üzere kenar uzunlukları ve açılar arasında taanjant teoremi uygulanır. Buna göre kenarların farkının kenarların toplamına oranı, bu kenarların ait olduğu açıların farkının yarısının tanjant değeri ile bu açıların toplamlarının yarısının tanjant değerine bölümü aynı oranı verir. 

Teoremin ispatı yapılırken çemberde açıların özelliklerinden yararlanılabilir. Buna göre bir ABC üçgeni için A köşesini merkez kabul eden [AB] kenarını da yarıçap kabul eden bir çember çizilir. Buna göre uygun açılardan yararlanılarak teorem ispatlanır. (Bknz: Çemberde Açılar)

Periyodik Fonksiyonlar

Bir fonksiyon f(x) periyodik fonksiyon ise, grafiği çizildiğinde belli bir aralıkta aynı grafik sürekli olarak tekrar eder. Yani matematiksel olarak bir pozitif Reel sayı "$T$" için, fonksiyonun her $x$ değeri f(x+T)=f(x) oluyorsa  bu fonksiyon periyodiktir. Buradaki T sayısı da fonksiyonun periyodu olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, fonksiyonun grafiği T birim aralıklarla kendini tekrar eder. Örneğin, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında bu tekrar 2π birimlik aralıklarla gerçekleşir. Kısacası periyodik fonksiyon, belirli bir uzunluktan sonra aynı değerleri sürekli tekrar eder. Periyodik fonksiyonlar, sadece matematikte değil, fizik, mühendislik ve günlük hayatta da önemli uygulamalara sahiptir. Örneğin, ses dalgaları, elektrik devrelerindeki akımlar, mevsimlerin değişimi ve saatlerin hareketi gibi olaylar periyodik davranış gösterir. Ayrıca periyodik fonksiyonların grafikleri dalga biçiminde olup, temel periyodu bilindiğinde fonksiyonun tüm davranışı tahmin edilebilir. Bu özellik, mühendislikte sinyal analizi ve Fourier serileri gibi alanlarda çok faydalıdır.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun Periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 4’tür, yani her 4 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–4 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x) = x² olarak tanımlanırken, 4 ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x-4) olarak periyotla birlikte tanımlanmıştır, 4 ve 4'ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,4) aralığın değerlerini sürekli olarak tekrar ediyor.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 5’tir, yani her 5 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–5 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x)=3x+1 olurken, 5’ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x−5) şeklinde periyotla birlikte tanımlanmıştır. Böylece 5 ve 5’ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,5) aralığındaki değerleri sürekli olarak tekrar etmiş olur. Örneğin f(79) değeri bulunmak istenirse burada kalan bulma işleminden yararlanmak gerekir. Örnekte verilen fonksiyon her 5 birimde kendini tekrar ettiğinden 79 gibi 5’ten büyük bir x değeri bulunurken fonksiyonun değeri periyodun uzunluğuna göre küçültülür. Bunun için 79’u 5’e bölüp kalanı alırız: 79 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğundan aslında bu periyodik fonksiyon için f(79)=f(4) anlamına gelir. f(79)'un 0–5 aralığındaki değeri ile f(79) aynı değere sahiptir. Buna göre f(4) değeri 0–5 aralığında fonksiyon [f(x)=3x+1] kuralına göre f(4)=3⋅4+1=13 olarak bulunur. f(79)=f(4) olduğundan böylece f(79)=13 olur.

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Kısaca, trigonometrik fonksiyonlar açıların döngüsel doğasından dolayı periyodiktir; belirli bir açı artışında fonksiyonun değerleri tekrar eder.  

(Bkz. Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu)

Üçgende Trigonometrik Dönüşüm Formülleri

Daha önceki yazılarımızda trigonometrik fonksiyonlarda dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerini verip bunların ispatlarını da açıklamıştık. Bu formüllere bağlı olarak çeşitli teoremler üretilmiştir. Bunlara örnek olarak; üçgen uygulamalarından iki güzel örnek verilebilir.  (Bknz. Dönüşüm Formülleri)

**Bir ABC üçgeninde üçgenin iç açıları arasında trigonometrik dönüşüm formüllerinin uygulaması görülebilir. Aşağıda buna bağlı iki farklı teorem verilmiştir, ispatlarını inceleyebilirsiniz. 

Aynı teoremi verilen ABC üçgeninin iç açılarının cosinüs değerlerine de uygularsak farklı bir sonuçla karşılaşırız. Aşağıda teorem ve ispatı birlikte verilmiştir.

Benzer biçimde aynı formül kullanılarak bir üçgende çeşitli açı bağıntıları bulunabilir. Aşağıdaki örneği inceleyebilirsiniz.

Cosinüs teoremi ispatı

Kosinüs Teoremi, üçgenlerde kenar uzunlukları ile açıların arasındaki ilişkiyi veren bir teoremdir. Bir üçgende eğer iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi kullanılır. Üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa,herhangi iki kenar arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teoreminin tersine çevrilmiş hali kullanılır. Dik üçgenlerde kosinüs teoreminin özel hali olan pisagor teoremi kullanılır.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde bazı ortak özellikler bulunur. Bunlar periyodiklik, süreklilik, kesiklik ve simetridir. Periyodiklik, grafiğin belirli bir aralıkta kendini tekrar etmesi anlamına gelir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları sürekli, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise belirli aralıklarda kesiklidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları tek fonksiyon, kosinüs ve kotanjant fonksiyonları ise çift fonksiyon özelliği gösterir. Bu durum grafiğin eksenlere göre yansımasını ve genel şeklini belirler. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çizimi, bu fonksiyonların temel özelliklerinin ve bu özelliklerin grafik üzerindeki etkilerinin sistematik biçimde incelenmesiyle yapılır. Bu süreçte genellikle periyot, genlik, faz farkı ve dikey kayma gibi ortak nitelikler dikkate alınır. 

Grafikler çizilirken belli adımlara dikkat etmek gerekir. y=a.sin⁡(bx+c)+d şeklindeki bir trigonometrik fonksiyonda a fonksiyonun genliği, b fonksiyonun periyodu, c faz değeri (yatay kayma değeri), d dikey kayma değeri olarak tanımlanır. a, b, c ve d değişkenlerine göre grafik çizimi yapılır.

Sekant ve Kosekant Grafikleri

Sekant ve kosekant fonksiyonlarının grafikleri, dikey asimptotlara sahip periyodik eğrilerdir ve değerleri bazı noktalarda fonksiyon tanımları gereği tanımsızdır. Sekant fonksiyonu, cos(x) fonksiyonunun tersi olarak 1/cosx olarak tanımlanır. Bu nedenle grafik çizilirken paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsızlık oluştuğundan asimptotlar meydana gelir. x = 0 noktasında fonksiyon y=1 değerinden başlar. x=π/2 ve x =-π/2 noktalarında cos(x)=0 olduğundan sekant tanımsızdır ve bu noktalarda dikey asimptot oluşur. x arttıkça grafik yukarı veya aşağı yönde dallanır ve her 2π birimlik aralıkta aynı şekilde grafik tekrar eder; yani sekant fonksiyonunun periyodu, cosinüs fonksiyonundan dolayı 2π olur.