İki eğri arasında kalan alan

Etiketler : alan formülleri belirli integral integral matematik

 

İki farklı fonksiyon grafiği verildiğinde bu grafiklerin arasında kalan alanı bulurken integral işleminden yararlanılır. Bunun için öncelikle fonksiyonlar birbirine eşitlenerek ortak kesişim noktaları bulunur. Yani eşitlikten ortaya çıkan denklemin kökleri bulunur. Bu kökler, integral alacağımız belirli aralığın alt ve üst değerleridir. Belirli integral yardımıyla fonksiyonlardan grafiği üstte olandan, grafiği altta olanın kuralı çıkarılarak bulunan kapalı aralıkta alt ve üst sınırlar yerine yazılarak belirli integral alma işlemi yapılır böylece iki eğri arasında kalan alan hesaplanmış olur.

Alan hesabı yapılırken, fonksiyonların grafiklerinin üst veya altında olması durumuna göre pozitif veya negatif işaretleriyle uğraşmamak için integralde mutlak değer alınarak da işlem yapılabilir.

 

Bir kapalı aralıkta parçalı integral alınırken, fonksiyon grafiklerinde fonksiyonların birbirinden büyük olma durumları dikkate alınarak belirli integral alma işleminden alan hesabı yapılır. 

 

y eksenine göre alınan integrallerde eğrinin yönüne (y eksenine göre pozitif veya negatif olma) durumuna dikkat edilmelidir. Buna göre belirli integral ile alan hesabı yapılırken, uygun işaretle işlem tamamlanır.

Bazı özel fonksiyonlarda eğrilerin arasında kalan alanı hesaplarken, sınırlanan bölgenin alt ve üst sınırları (uç noktaları) farklı işlemler yapılarak bulunabilir. Örneğin trigonometrik bir fonksiyon verilmişse, bunların sınırladığı kapalı aralığın bulunmasında trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerinden yararlanılır. (Bkz. Temel Trigonometrik denklemler) Eğer logaritmalı veya üstel biçimli bir fonksiyon verilmişse, burada sınır değerleri bulunurken logaritma denklemlerinin çözüm kümesinden yararlanılır. Daha sonra integral alma işlemlerine geçilerek alan hesabındaki aynı işlemler tekrarlanır.