Matematik Fields Madalyası (Meryem Mirzakhani)

Etiketler : kadın matematikçiler matematikçiler

"Fields Madalyası’nı alan ilk kadın matematikçi, İranlı Maryam Mirzakhani’nin yaşamını, hiperbolik geometri çalışmalarını ve ödülün tarihini araştırdık.Matematiğin “Nobel”i olarak bilinen Fields Ödülü, matematik alanında sıra dışı çalışmalar yapan ve matematiğin geleceği hakkında söz sahibi olacağı düşünülen bilim insanlarına her dört yılda bir verilen bir ödül.

Ödülün hikayesi

Fields Madalyası’nın ön yüzünde Arşimet’in siması ve Arşimet’in sözü “Kendi ayaklarının üzerinde dur ve dünyayı yakala!" bulunuyor. Arka yüzünde ise "Tüm dünyadan gelip burada toplanan matematikçiler mükemmel çalışmaları takdir ediyorlar" yazıyor.
Fields Madalyası Komitesi, IMC yönetim kurulu tarafından belirleniyor. Ödül komitesinin başkanı dışındaki bileşimi ödül töreninin yapılacağı tarihe kadar gizli tutuluyor.
Aslında Fields için "matematiğin Nobel'i" tariflemesini birçok matematikçi beğenmiyor. Nobel ödül başlıkları arasında matematiğin neden yer almadığıysa başlı başına bir tartışma. Söylentiye göre gerçek sebep, Nobel ödüllerini başlatan Alfred Nobel'le İsviçreli matematikçi Mittag-Leffler arasındaki kişisel husumetmiş.

Uluslararası Matematikçiler Kongresi 1897 yılında ilk kez Zürih’te düzenlendi ve I.Dünya savaşı nedeniyle ara verilene kadar devam etti. Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nin devam ettirilmesi niyetiyle 1923 yılında Uluslararası Matematikçiler Birliği (IMC) kuruldu. 1924 yılında Almanların dışarıda bırakılıp bırakılmaması tartışmalarıyla birlikte Toronto’da düzenlenen kongrenin sekreterliğini Kanadalı matematikçi John Charles Fields yaptı. Bu kongrede alanında sıra dışı çalışmalar yapan iki matematikçinin altın madalya ile ödüllendirilmesi kararı alındı. Bu ödülün verilmesi için fon kurulması sağlayan ve bu fona bağış yapan J.C.Fields onuruna ödülün ismi de Fields Madalyası oldu.

Matematik alanında yaşanan büyük sıçramalar nedeniyle 1966 yılında ödül verilebilecek kişi sayısı 4’e kadar çıkarıldı. Ödülün koşulları arasında, matematiğe yapılan istisnai katkının yanısıra, adayların 40 yaşını doldurmamış olması da var.

Hangi ülkeler matematikte öne çıkıyor?

Şu ana kadar toplam 58 matematikçi bu ödüle layık görüldü. Bunlar arasında en genci 27 yaşındaki Jean Pierre Serre’di. Eward Witten ise ödülü alan ilk matematiksel fizikçi olmuştu.

En fazla Fields madalyası alan ülke 12 madalyayla ABD. İkinci ülke ise 9 madalya ile SSCB – ancak bu matematikçilerin çoğu SSCB’de okuduktan veya doktora yaptıktan sonra, ülkeyi terketmişler. ABD ve Sovyetler’i Fransa ve İngiltere takip ediyor.

Fields Madalyası bu yıl Brezilyalı Artur Avila (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada), Kanadalı ve ABD’li Manjul Bahrgava (Princeton Üniversitesi), Avusturyalı Martin Hairer (Warwick Üniversitesi) ve İranlı Maryam Mirzakhani’ye verildi.

Ödül ile ilgili olarak en dikkat çeken nokta şüphesiz bu ödülü ilk kez bir kadın matematikçinin, Maryam Mirzakhani’nin almasıydı. 37 yaşındaki Mirzakhani, ödülü alan ilk kadın olmasının yanında, ilk İranlı matematikçi de oldu. Avila ve Hairer de ödülü alan sırasıyla ilk Brezilyalı ve Avusturyalı matematikçiler.

Tahran’da yetişen yetenek: Maryam Mirzakhani

Tahran’da doğup büyüyen Mirzakhani, okuduğu okulun kitapçıların yoğun olduğu sokağa yakın olması nedeniyle ebebiyata merak saldığını, eline ne geçerse okuduğunu ve yazar olmak istediğini söylüyor. Ortaokulu bitirdiği yılların İran-Irak savaşının (1980-88) bittiği yıllara denk geldiği için kendini şanslı görüyor: “10 yıl önce doğmuş olsaydım o dönem sahip olduğum fırsatları bulamazdım”. Nitekim 1987’de İran, sıradışı yetenekli çocuklara dönük bir okul projesi (NODET) başlatıyor ve Mirzakhani de bu liselerde eğitim görüyor.

Mirzakhani, matematiğe ilgisinin gelişmesinde onun bilimle uğraşmasını isteyen ağabeyinin katkısını vurguluyor. Bir gün ağabeyi 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamının Gauss tarafından nasıl hesaplandığını anlatıyor. Bu olay Mirzakhani’yi çok etkiliyor: "İlk kez, çözümü kendim bulamamış olsam bile, güzel bir çözümden zevk almıştım.”

Matematiğe ilgisi yoğunlaşan Mirzakhani 1994’te Hong-Kong, 1995’te Toronto’da düzenlenen Uluslararsı Matematik Olimpiyatlarında kazadığı altın madalyalar ile tanınan zeki bir genç oldu.

Mirzakhani, lise eğitimini NODET’te tamamladıktan sonra matematik lisansını Tahran’da bir kamu üniversitesi olan Şerif Teknoloji Üniversitesi’nden, doktorasını ise 2004 yılında kendisi de Fields madalyası sahibi Curtis McMullin danışmanlığında Harvard Üniversitesi’nden aldı. Şu anda Stanford Üniversitesi’nde profesör olarak çalışıyor.

Riemann yüzeyleri: simit ve kupanın ortak yanları

Mirzakhani, geometri ve dinamik sistemler alanında çok önemli katkılar yaptı. Riemann yüzeyleri ve onların modüli uzayları hakkında çalışmaları hiperbolik geometri, topoloji, dinamik sistemler, kompleks analiz gibi matematiğin farklı disiplinleri arasında bir köprü işlevi görmektedir.

Riemann yüzeyleri adını 19.yy’da soyut yüzeylerin önemini anlamaya çalışan Bernard Reimann’dan almıştır. Yüzeyler sahip oldukları delik (genus) sayısı ile topolojik olarak sınıflandırılabilirler. Örneğin küre genus 0, simit genus’ı 1 olan bir yüzeydir. Burada topolojik olarak sınıflandırmadan kastedilen kahve kupası ile simit’in aynı şeyi ifade etmesidir. İkisi de genus’ı 1 olan topolojik nesnelerdir.

Bir yüzey üzerinde geometrik bir yapı ile tariflenirse Riemann yüzeyi adını alır. Bu yapı kompleks bir yapı olabilir. Bunun anlamı soyut yüzeyler üzerinde kompleks analiz metotlarının uygulanabilir olmasıdır. Her kompleks eğrinin cebirsel bir eğri olması, yani belirli sayıda polinomun sıfırları olarak ifade edilebilir olması, Reimann yüzeyleri ile cebirsel geometri arasındaki ilişkinin varlığını oluşturmaktadır. Yani Riemann yüzeyleri, üzerinde kompleks analiz yapılan analitik nesneler olmanın yanında, polinomlar tarafından verilen cebirsel bir ifadeye de sahiptir.

Riemann yüzeylerini tanımlamanın bir alternatif yolu da uzunluk, açı, alan hesaplamaları yapabileceğimiz hiperbolik geometrinin tariflenmesidir. Hiperbolik geometri öklidyen geometriden farklıdır. Öklid geometrisinde bir doğruya kendi üzerinde olmayan bir noktadan ancak bir tane paralel doğru çizilebilir. Hiperbolik geometrideyse, verilen bir doğruya paralel ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen birden fazla doğru olabilir. Hiperbolik geometrinin öncülüğünü Bolyai, Lobatchevski ve Gauss yapmıştır. Riemann yüzeylerinin zenginliğinin temeli üzerindeki kompleks-cebirsel yapı ile hiperbolik yapının denk olmasıdır.

Mirzakhani’nin ilk dönemki çalışmaları Riemann yüzeyleri üzerindeki kapalı, uzunlukları deformasyonla değişmeyen eğriler (İng. “closed geodesic”) konusunda olmuştur. Riemann yüzeyleri üzerinde uzunluğu belirli bir L sayısının altında olan jeodeziklerin (İng. “geodesic”) sayısı “jeodeziklerin asal sayısı teoremi”yle ifade edilmiştir. Çok büyük L’ler için bu sayı asimptotik olarak exp(L)/L olarak verilmiştir.

Mirzakhani bu kapalı eğrilerin basit, kendilerini hiç kesmeyen tipleri için asal sayı teoremine odaklandı ve bu durumun basit kapalı eğriler için farklı olduğunu gösterdi. Basit kapalı eğriler durumunda bu sayı üstel olarak olarak artmamakta, tam olarak L’nin 6g-6’ncı kuvveti ile verilmektedir. Buradaki g sayısı Riemann yüzeyinin genusudur. 6g-6 sayısı bu formülde gizemli bir ifade gibi durmaktadır. Aslında bu sayı Riemann yüzeylerinin modüli uzaylarının boyutunu vermektedir. Bu durum genel olarak modüli uzayın geometrik yapısında dair çok fazla bilgi sunmamakla birlikte Mirzakhani ve McShane’nin çalışmaları modüli uzaylar üzerinde hacim hesaplamaları ile basit kapalı eğrilerin sayısı hakkında ilişkinin varlığını ortaya çıkardı.

Mirzakhani: karmaşık uzayların fatihi

Mirzakhani’nin bakış açısı, sicim teorisinin öncülerinden ve Fieldslı Edward Witten’in, eğrilerin modüli uzayları üzerindeki kesişme sayıları üzerine ortaya attığı Witten sanısının yeni ve beklenmedik bir ispatının verilmesini sağladı. Yine Fields sahibi Kontsevich 1992 yılında Witten sanısını ispatlamıştı, ancak Mirzakhani, modüli uzaylar üzerindeki bu sanıyla Riemann yüzeyleri üzerindeki basit kapalı jeodeziklerin sayılması arasında bir ilişkinin varlığını gösterdi.

Son yıllarda Mirzakhani modüli uzayların diğer geometrik özellikleri üzerine çalışmalarını yoğunlaştırdı. Modüli uzaylar üzerindeki dinamik sistemleri (zamana bağlı olarak gelişen-değişen sistemler) çalıştı ve Fields Madalyası sahibi William Thurston tarafından ortaya atılan deprem akışı (İng. “earthquake flow”) sisteminin “kaotik” olduğunu ispatladı.

Mirzakhani ayrıca Alex Eskin ve Amir Mohammadi ile birlikte modüli uzaylar üzerindeki başka dinamik sistemleri de çalıştı. Kapalı olmayan (İng. “non-closed”) jeodeziklerin modüli uzaylar üzerindeki davranışları son derece düzensiz ve bunların yapıları hakkında bilgi edinmek zor. Buna karşın Mirzakhani, kompleks jeodeziklerin ve onların cebirsel kapanışlarının düzensiz veya fraktal olmak yerine düzenli olduklarını ispatladı. Yani kompleks jeodeziklerin analiz diferensiyel geometri açısından transendental özelliğe sahip olmalarına karşın kapanışlarının cebirsel yani polinomlar yardımıyla tarifelenebilir oldukları anlaşıldı. Bu çalışması alanın uzmanı matematikçiler tarafından övgüyle karşılandı. Zira bu çalışmalar, homojen uzaylar üzerindeki dinamik sitemlerin sahip olduğu katılığın, heterojen bir yapı olan modüli uzaylar üzerindeki dinamik sistemler için bir karşılığının olmadığını göstermiş oldu.

Heterojen yapısı ve karışıklığı nedeniyle modüli uzaylar üzerine doğrudan çalışmak imkansız gözükmekteydi. Fakat Mirzakhani etkili çalışmasıyla bu yargıyı boşa çıkardı."

 http://bilimsol.org/bilimsol/matematik/maryam-ve-karmasik-uzaylari

Kaynaklar:

Carl Riehm, 2007, “The Early History of the Fields Medal”, http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf
http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/annual_report/ar2008/08Interview.
http://www.mathunion.org/general/prizes/2014/prize-citations/
http://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/2014/news_release_mirzakhani.pdf

Not: (16/07/2017) Matematiğin Nobeli olarak anılan Fields ödülünü kazanan ilk kadın olarak tarihe geçen İranlı matematikçi Meryem Mirzakhani, 40 yaşında meme kanseri nedeniyle hayatını kaybetti. Kanserin Mirzakhani'nin kemiklerine kadar yayıldığı belirtildi. ABD'de yaşayan ve çalışan Mirzakhani, çalışmalarında özellikle hiperbolikgeometri, ergodik teori, simplektik geometri ve Teichmüller teorisine odaklanıyordu. http://www.bbc.com/turkce/amp/haberler-dunya-40619607