W. George Horner ve Horner Yöntemi

Etiketler : bölme işlemi matematik matematikçiler polinomlar

Horner metodu, bir polinomun değerini hızlı ve etkin bir şekilde hesaplamak için kullanılan basit bir yöntemdir. Bu yöntem, özellikle yüksek dereceli polinomlarda hesaplama sırasında ortaya çıkan çok sayıda çarpma ve toplama işlemini azaltarak daha verimli bir hesaplama sağlar. Horner metodu sayesinde işlem sayısı azalır; bu da hesaplamaların daha hızlı yapılmasını ve hata olasılığının düşmesini sağlar. Bu özelliği nedeniyle, bilgisayar ve sayısal hesaplama algoritmaları açısından oldukça uygundur. Ayrıca Horner metodu, yalnızca polinom değerini bulmak için değil, polinom bölmesi veya Newton-Raphson yöntemi gibi kök bulma işlemlerinde de yaygın olarak kullanılır. 

Newton–Raphson yöntemi, bir denklemin kökünü yani f(x)=0 denklemini sağlayan x değerini bulmak için kullanılan, hızlı yakınsama özelliğine sahip bir nümerik analiz yöntemidir. Bu yöntemde, x_n noktasında fonksiyona bir teğet çizilir ve bu teğetin x-eksenini kestiği nokta bir sonraki denklemin kökü olarak tahmin ettiğimiz x_n+1 noktasını verir. Bu şekilde teğet çizilerek devam eilir. Böylece bu yöntemle, fonksiyonun grafiği üzerinde köke adım adım hızlı bir şekilde yaklaşmayı sağlar. Bu teğet çizme işlemi, ardışık adımlarla köke yeterince yaklaşılana kadar tekrarlanır. Newton yöntemi, özellikle başlangıç değeri köke yakın olarak seçildiğinde çok daha hızlı yakınsama göstereceğinden daha kullanışlı bir metod olur.
Horner metodu, İngiliz matematikçi William George Horner (9 Haziran 1786-22 Eylül 1837) tarafından akademik dünyaya kazandırılmıştır. George Horner, bilimsel yazı hayatına 1810’lu yıllarda başlamıştır. "The Ladies’ Diary" ve "The Gentleman’s Diary" gibi dönemin önemli dergilerinde çeşitli matematik problemleri yayımlamıştır. 1819 yılında, "Royal Society (Kraliyet Cemiyeti)’nin Philosophical Transactions" dergisinde yayımlanan makalesiyle Horner Yöntemini bilim dünyasına tanıtmıştır. George Horner adıyla bilim dünyasına tanıtılmış olan "Polinom Bölmesi Yöntemi", Horner’den çok önceleri, 13. yüzyılda Çinliler tarafından Zhu Shijie (ö. 1300?) adıyla bilinmekteydi. William Horner, 1819 yılında yayımladığı makalesiyle bu yöntemi Avrupa’ya tanıtmış ve polinomlarda bölme işleminin daha hızlı ve düzenli bir biçimde hesaplanmasını sağlayan bu yaklaşımı açıklamıştır. Tarihsel olarak, bu yönteme benzer fikirler Horner’dan önce Joseph-Louis Lagrange ve René Descartes gibi matematikçiler tarafından da Avrupa’da kısmen kullanılmıştır. Buna rağmen yöntemi sistematik bir hale getirip yaygınlaştıran kişi William George Horner olduğu için bu teknik onun adıyla anılmaktadır. 

Horner Yöntemi, işlem mantığı, polinomun katsayıları üzerinden ardışık çarpma ve toplama adımlarıyla bölme işlemini gerçekleştirmeye dayanır. Yöntemde öncelikle, elimizdeki polinomun tüm katsayılarını en üst dereceli terimden başlayarak üstten alta doğru yan yana sıralarız. Daha sonra bölen polinomun kök değeri (örneğin x-a polinomu için kökü x-a=0 dan x=a değeri) bir alt satıra yazılır. Daha sonra en yüksek dereceli terimin katsayısı doğrudan bu alt satıra indirilir. Bu sayı, bölüm polinomunun en yüksek dereceli teriminin katsayısı olur. Ardından, bu sayıyı bölücüdeki a sayısı ile çarparız ve ortaya çıkan sonucu polinomun bir sonraki katsayısına altına yazarak bununla toplarız. Elde edilen sonucu tekrar alt satıra yazarız. Bu işlemi polinomun son katsayısına kadar tekrarlarız. Alt satırdaki son sayı, polinomun x-a ile bölündüğünde kalanını verir. Alt satırdaki diğer sayılar ise bölüm polinomunun katsayılarını oluşturur. 

Yöntemi örnekle açıklayalım: Polinomumuz 2x³ - 6x² + 2x - 1 olsun ve bunu x-3 ile bölelim. Önce katsayıları yazalım: 2, -6, 2, -1. En yüksek dereceli katsayı olan 2'yi alt satıra indiriyoruz. 2'yi 3 ile çarpıyoruz ve bir sonraki katsayı olan -6 ile topluyoruz. İşlem sonucu 0 oluyor ve bunu alt satıra yazıyoruz. Sonra 0'ı 3 ile çarpıyoruz ve bir sonraki katsayı olan 2 ile topluyoruz. Sonuç 2 oluyor ve alt satıra yazıyoruz. Bu 2'yi tekrar 3 ile çarpıyoruz ve son katsayı olan -1 ile topluyoruz. Sonuç 5 oluyor. Alt satırda elde edilen sayılar 2, 0, 2 ve 5 olur. İlk üç sayı bölüm polinomunun katsayılarıdır: 2, 0 ve 2, yani bölüm polinomu 2x² + 2 olur. Son sayı olan 5 ise kalan olur. Sonuç olarak polinomumuzu şöyle yazabiliriz: 2x³ - 6x² + 2x - 1 = (x-3).(2x² + 2)+5 şeklinde bölme işlemi tamamlanmış olur.

Horner metodu ile polinom bölme işlemi sırasında her adımda bir çarpma ve toplama yapılır. Alt satırdaki son sayı polinomun kalanını verir, diğer sayılar ise bölüm polinomunun katsayılarıdır. Bu yöntem, özellikle yüksek dereceli polinomlarda klasik uzun bölmeye göre çok daha hızlı ve pratiktir.

William George Horner, matematik dışında optik alanında da çalışmalar yapmıştır. 1815’te, gözlemlenen herhangi bir nesneyi kağıda “yansıtarak” çizimi sağlayan Camera Lucida aletinin daha kullanışlı bir versiyonunu tasarlamıştır. "Horner Camera Lucida", göz ile kağıt arasına yerleştirilen bir prizma aracıdır. Bu prizma, gözün hem nesneyi hem de kağıdı aynı anda görmesini sağlar. Böylece nesnenin konturları ve detayları doğru ölçüde kağıda çizilir. Nesne masanın üzerinde durur; göz prizma aracılığıyla nesneyi ve kağıdı görür ve çizim, yansıtılan görüntü üzerinden yapılır. Bu araç, özellikle bilimsel ve sanat çizimlerinde oran ve detayları doğru almak için kullanılır. 

George Horner, 1834’te ise ilk hareketli görüntü aygıtlarından biri olarak kabul edilen, hareket eden resimler oluşturan döner silindir biçimindeki alet Daedalum’u (yaygın adıyla zoetrope) geliştirmiştir. Bu aygıt, silindirin iç yüzeyine ardışık çizilmiş resimlerin, silindir dönerken özel yarıklar aracılığıyla gözle hızlı bir şekilde görüntülenmesi prensibine dayanır. Göz, her yarıktan yalnızca tek bir resmi görür ve beynimiz bu ardışık görüntüleri birleştirerek hareketli bir sahne izlenimi oluşturur. Bu basit ama etkili optik ilke, modern animasyon ve sinema teknolojilerinin temelini atmıştır. Horner’ın Daedalum’u, sonraki yıllarda farklı bilim insaları tarafından daha da geliştirilmiş, optik ve hareket algısının anlaşılması açısından bilimsel bir deney aracı olarak kullanılmıştır. Böylece "Daedalum" hareketin gözlemlenmesi ve çizimle kaydedilmesi sürecini hem öğretici hem de görsel olarak ilgi çekici hâle getirmiştir.

Sonuç olarak, matematik ve bilgisayar yazılım dünyasında büyük kolaylık sağlayan polinom bölme yöntemi, her ne kadar Horner adıyla anılsa da, tarih boyunca benzer tekniklerin çok daha önce Hint, Çin ve İslam Dünyası matematikçileri tarafından keşfedildiği bilinmektedir. İslam Dünyasında el- Harezmi (ö.850), Kuşyar b. Lebbân (ö.1029) gibi matematikçiler, kök hesaplamalarında Ruffini-Horner yöntemine temel teşkil eden basit bir algoritma geliştirmişlerdir. Bu algoritmanın sonuçları, 11. ve 12. yüzyılda Ali b. Ahmed en-Nesevî (ö.1100?) ve Ömer Hayyam (ö.1131) gibi bilim insanlarının çalışmalarında yer almış ve Semev El-Magribî (ö.1175), altmış tabanlı tam sayıların köklerini hesaplamak için, kendisinden sonra Ruffini-Horner yöntemi olarak adlandırılacak olan hesap metodunu bulmuştur. 13. ve 14. yüzyıllarda Kemaleddin el-Fârisî  (ö. 1318) ile ibn Havvâm (ö.1324) gibi İslam matematikçilerinin eserlerinde polinom bölümleri, yüksek dereceli denklemlerin kök çözümleri gibi işlemlerde bu yöntemin kullanımı daha da yaygınlaşmıştır. Kök bulma ve polinom hesabı yöntemi sonraki dönemlerde daha da geliştirilerek özellikle Gıyaseddin Cemşid el-Kaşî (ö.1429) gibi 15. yüzyıl İslam matematikçileri tarafından sistematik hale getirilmiştir. 

Yeniçağ Avrupa’sında bu konuda önemli çalışmalar yapılmıştır. Örneğin, François Viète (1540-1603)’nin yayımladığı "De Numerosa Potestatum" adlı eserinde Horner yöntemini denklem çözümlerinde kullandığı görülmektedir. Newton ve Horner yöntemlerinin temelini oluşturan bu yaklaşımlar, 17. yüzyılda John Wallis (1616-1703) tarafından uygulamaya konulmuş, ancak polinom terimlerinin pozitif olduğu durumlarda bile yöntemin oldukça zahmetli hesaplama olduğu ortaya çıkmıştır. John Pell, (1611-1685) bu yöntemin üzerinde çalışarak mevcut hesaplamaları daha sade ve güvenilir hale getirmiştir. Newton’un kalkülüs temelli, yüksek dereceli denklemler için geliştirdiği yaklaşık çözüm yöntemleri, Leibniz, Lagrange, Bernoulli ve Laplace gibi matematikçiler tarafından incelenmiştir. George Horner, köklerin ondalık basamaklarla adım adım temsil edildiği Lagrange’ın tekniklerini benimsemiştir. Böylece, W. George Horner çarpıcı bir yenilik sunmamış olsa da, yüzyıllardır süregelen yöntemleri, daha işlevsel ve sade bir biçime geliştirerek akadami dünyasına tanıtmıştır. 

Kaynakça:
Oğuz, Tuba. “Klasik Dönem Osmanlı Matematiğinde Kök Çıkarma Teknikleri: Câmiʻ u’l-Hisâb Örneği.” OTAM, 44 /Güz 2018, 133-187.
The Editors of Encyclopaedia Britannica. “William George Horner.” Encyclopedia Britannica, www.britannica.com/biography/William-George-Horner
Pathan, A., & Collyer, T. “The Wonder of Horner’s Method.” Mathematical Gazette 87, no. 509 (2003): 230-242.
Horner’s method.” Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Horner's_method