Zamanın izafiyetine matematiksel bakış

Zamanın ne kadar hızlı geçtiğinden şikayet ediyoruz. Acaba zaman gerçekten hızlı mı akıyor? Herkes için zaman kavramı aynı mı? Zamanın izafiyeti ve göreceliği ne demek? Zaman gittikçe kısalıyor mu? Bu soruların cevabına dair fikirlerimiz bilim ve din çevrelerinde değişkenlik gösteriyor. Zaman; insanın doğduğu ilk günden beri yakalayamadığı, sürekli peşinde koşarak aldandığı, nice vakitleri boş yere harcayıp tükettiği bir kavramdır. Zaman, ölçmeye çalıştıkça parçalanan ve her çağda başka suretlere bürünen bir muammadır. Çocukken ağır aksak ilerleyen, yetişkinlikte hızlanan, ihtiyarlıkta göz açıp kapayıncaya dek geçen bu zaman algısı, aslında insanın hayatla kurduğu bağın ve tecrübe yoğunluğunun aynasıdır. Allah Rasülü  “Zaman yakınlaşmadıkça kıyâmet kopmaz! Bu yakınlaşma öyle olur ki, bir yıl bir ay gibi, ay bir hafta gibi, hafta da bir gün gibi, gün saat gibi, saat de saman alevi gibi veya kibritin tutuşup hemen sönmesi gibi (kısa) olur.” (Tirmizî, Zühd, 24/2332) sözü ile ahir zamanda zamanın değişeceğine ve bereketsiz hale geleceğine dikkat çekmiştir.
Zamanın değişken ve göreceli olduğu, gözlemcilerin hareketlerine bağlı olarak farklı hızlarda aktığı, günümüz dünyasında Albert Einstein'ın Görelilik Teorisine göre (Relativite Teorisi*¹) bilimsel olarak açıklanmıştır. Işık hızı, saniyede 300.000 km olduğundan hareketle sabit bir ışık hızında bir cisim (ışık hızına yakın) hareket ederse, bu cismin geçirdiği zaman, dışarıdan bakan herhangi bir gözlemciye göre daha yavaş akacağı teorik olarak belirtilmiştir. Bu olaya "zamanın genişlemesi" (time dilation*²) adı verilmiştir. Bu teoriye göre hareket halindeki bir nesne, zaman genişlemesi yaşar, yani bir nesne çok hızlı hareket ettiğinde zamanı durağan halinden daha yavaş yaşamış olur. Kütleye sahip herhangi nesnenin yakınında, “uzay-zaman bozulur. Bu da uzayın bükülmesine ve zamanın genişlemesine neden olur. 
Meşhur bir paradoksa göre ("ikizler paradoksu*³") ışık hızına yakın hızda seyahat eden bir astronot, Dünya'ya döndüğünde Dünya'da göreceli olarak daha fazla zaman geçmiş olacağından yaşıtlarına göre daha genç kalacaktır. Roketin içindeki uzun bir seyahatin ardından dünyaya dönen astronot, ikiziyle yaş ve vücut olarak farklılık görür. Dünyadaki zamanın daha hızlı aktığı düşüncesinden hareketle, dünyada kalan ikizi roket içinde seyahat eden astronota göre daha hızlı yaşlanmıştır. Bu teori yerçekimini de işin içine katar. Bütün kütleli cisimler, örneğin gezegenler veya kara delikler zamanı büker. Zaman, güçlü yerçekimi alanlarında daha yavaş akarken, zayıf yerçekimi alanlarında daha hızlı akar.
Güçlü yerçekimi alanları, çok büyük kütleli cisimlerin uzay-zamanı şiddetli şekilde bükerek oluşturduğu, zamanın ve uzayın davranışını hissedilir biçimde değiştirdiği bölgelerdir. Kara delikler gibi ışığın bile kaçamadığı çok güçlü yerçekim alanlarında, zaman aşırı derecede yavaş akar. Teoride bir kara deliğe yaklaşan bir cisim için dışarıdaki gözlemciler, zamanı "donmuş" gibi görebilir. 1976 yılında NASA tarafından yapılan ve Einstein'ın genel görelilik teorisini test eden Gravity Probe*⁴ deneyiyle, Dünya'nın yerçekimi nedeniyle bir saatin yüksek irtifada yerçekimi etkisinin zayıflığı nedeniyle daha hızlı çalıştığı gösterilmiştir. Buna göre deniz seviyesinde yaşayan biri, yüksek dağın zirvesindeki birinden biyolojik olarak daha yavaş yaşlanır. Bu etkiyi araştırmak için yapılan bir deneyde, yer zemininde ve yüksek irtifaya fırlatılan bir roketin içinde birer eş zamanlı atom saati bırakılmış ve sonuçta iki saatin de çok az da olsa farklı zamanları gösterdiği tespit edilmiştir. Bu nedenle belli bir yükseklikte bulunan uydu ve GPS sistemleri, bu zaman sapması etkisini hesaba katmak zorunda olduklarından, çeşitli hatalara sebep olmamak için sürekli olarak saat düzeltmeleri yaparlar. Zaman, Allah'ın yaratmış olduğu kavramlardan bir tanesi olup değişmeyen, mutlak bir şey değildir. Gözlemcinin hızına, kütlesine ve bulunduğu yerçekimi alanına göre değişkenlik gösterir. Sonuç olarak yükseklere çıkıldıkça, yerçekimi zayıfladığından uzay-zaman daha az büküleceği için zaman daha hızlı akar. Güçlü yerçekiminin olduğu mekanlarda uzay-zamanı daha çok eğip bükeceğinden bu durum zamanın akışını da yavaşlatır.

Çemberin parametrik denklemi

Bir çemberin parametrik denklemi, genellikle merkez koordinatları ve yarıçapına bağlı olarak trigonometriden yararlanılarak yazılır. Bir çemberin merkezi (a,b) ve yarıçapı r ise bu çemberin parametrik denklemi t bir açı olmak üzere: x(t)=a+r.cos⁡(t) ve y(t)=b+r.sin⁡(t) şeklindedir. Merkezil çemberin merkezi M(0,0) orijindir.

Çemberlerin birbirine göre durumları

Düzlemde verilen iki çemberin birbirine göre 3 temel durumu vardır. İki çemberin merkezleri arasındaki mesafeye d ve yarıçaplarına r1 ve r2 dersek buna göre çemberlerin durumlarını şöyle açıklayabiliriz: 
1) Çemberler birbiriyle kesişmez.Yani çemberlerin hiç ortak noktaları yoktur. d>r1+r2 

Çemberle doğrunun birbirine göre durumları

Bir düzlemde verilen bir çember ile bir doğru arasında üç temel durum vardır: 
1) Doğru Çemberi Kesmez (Çemberle doğrunun ortak bir noktası yoktur. Dıştan Ayrık) 
Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi boş küme ise doğru çemberin dışındadır. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d>r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi kesmez, doğru bu durumda çemberin dışında yer alır. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında,  elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri, sıfırdan küçük olur. Yani düzlem geometride denklemin reel kökü olmaz.
2) Doğru Çembere teğet olur. (Çemberle doğrunun ortak sadece bir noktası  vardır.)
Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi sadece tek nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d=r ilişkisi vardır Böylece doğru çembere teğet olur. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfıra eşit olur. Yani denklemin tek kökü olur.
3) Doğru Çemberi iki farklı noktada keser. (Çemberle doğrunun iki ortak noktası  vardır.)
Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi iki farklı nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d<r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi keser. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfırdan büyük olur. Yani denklemin iki farklı kökü olur.

Çemberin Analitik incelemesi

Geometri biliminde düzlemdeki sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki sonsuz sayıdaki noktaların oluşturduğu kümeye (kapalı eğriye) "çember" denir. Çemberin üzerindeki noktalara eşit uzaklıkta bulunan, çemberin tam ortasında yer alan sabit noktaya "çemberin merkezi" denir ve genellikle M veya O harfi ile gösterilir. Merkezi (a,b) olan ve yarıçapı r olan bir çember; Ç(M,r) şeklinde yazılır.  Çember merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa çemberin "yarıçapı" denir ve genellikle "r" harfi (radius) ile gösterilir. Çemberin merkezinden geçerek çemberin üzerinde bulunan herhangi iki noktayı birleştiren en uzun doğru parçasına "çap" (diameter) adı verilir ve 2r ile gösterilir. 
Bir çemberin yay uzunluğunun tamamını veren ifadeye "çemberin çevresi" denir ve çemberin çevresi Çevre= 2πr formülüyle hesaplanır. Çemberin kendisi ve çemberin iç bölgesi de çembere dâhil edilirse bu plaka biçimine "daire" denir, daire bir yüzey (alan) belirtir. Yarıçapı r olan dairenin alanı: Alan=π.r2 formülüyle bulunur. Alan ve çevrede kullanılan π sayısı irrasyonel bir sayıdır. π=3.14159265359... devam eden irrasyonel sabit bir sayıdır.
Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çemberin genel denklemi şu şekildedir: (x−a)2+(y−b)2=r2 Bu çember denklemi, çember üzerindeki tüm noktaların merkez noktasına olan uzaklığının r olduğunu ifade eder. Esasında çember denklemi analitik geometride iki nokta arası uzaklık formülü ile oluşturulur. 
(x−a)2+(y−b)2=r2 çember denklemine çemberin standart denklemi denir. Örneğin orijin merkezli ve yarıçapı 5 birim olan bir çemberi (x−0)2+(y−0)2=5şeklinde yazabiliriz. Buradan orijin merkezli bu çember; x2+y2=25 olur. Merkez (3, -2) ve Yarıçapı r=4 olan bir çemberi, (x−3)2+(y+2)2=16 şeklinde yazabiliriz. 

1) Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi noktası M(a, 0) şeklindedir. Yani, merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin y-koordinatı sıfırdır. Bu durumda Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin genel denklemi şöyle olur:  (x−a)2+y2=r2 olur. Bu çember, x ekseni üzerinde bir noktayı merkez alır ve y ekseni boyunca yukarı ya da aşağıya doğru simetrik olarak uzanır. Örneğin merkezi (2, 0) ve yarıçapı 6 olan bir çemberin denklemini (x−2)2+y2=36 şeklinde yazabiliriz. 

2) Merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi M(0,b) şeklindedir. Yani, merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin x-koordinatı sıfırdır. Bu durumda çemberin genel denklemi şöyle olur: x2+(y-b)2=r2 olur. Bu çember, y ekseni üzerinde bir noktada merkezlenmiştir ve x ekseni boyunca sağa ya da simetrik olarak uzanır. Örneğin; Merkezi (0,−3) ve yarıçapı 5 olan bir çemberin denklemi: x2+(y+3)2=25 olur. 

3) Merkezi orijin M(0, 0) üzerinde olan bir çemberin denklemi çemberin en basit ve standart halidir. Merkezi orijin M(0, 0) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi: x2+y2=r2 olur. Bu çember, hem x hem de y eksenine göre simetriktir çünkü merkez orijin üzerindedir.
Örneğin Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 7 olan bir çemberin denklemi: x2+y2=49 şeklindedir. Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 9 olan bir çemberin denklemi: x2+y2=81 şeklindedir. 

Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir trigonometrik fonksiyonları tanımlamada birim çember kullanılır. Birim çemberin denklemi: x2+y2=1 şeklindedir.

4) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember y eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |a| olur ve çemberin merkezi a koordinatına bağlı olarak x ekseninin sağında ya da solundadır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember, y eksenine teğet ise bu çemberin denklemi: (x−a)2+(y−b)2=a2 şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−r)2+(y-b)2=r2 şeklinde yazarız.

5) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, x eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |b| olur ve çemberin merkezi, b koordinatına bağlı olarak y ekseninin aşağısında ya da yukarısında yer alır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember x eksenine teğet ise denklemi: (x−a)2+(y−b)2=b2 şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−a)2+(y-r)2=r2 şeklinde yazarız. 
6) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, her iki eksene de teğet ise (x ve y eksenine teğet ise) çemberin merkezi M(a,b)=(±r,±r) şeklinde olur ve bölgelere göre dört farklı çember çizilebilir. Çemberin merkezi ve yarıçapı verildiğinde denklemi (x−a)2+(y−b)2=r2 olduğundan; merkez koordinatlarının bölgelere göre a=±r ve b=±r ihtimali olduğundan dört farklı çember yazılabilir. 
 
Buna göre birinci bölgedeki eksenlere teğet çember şöyle olur: (x−r)2+(y−r)2=r2 
İkinci bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)2+(y-r)2=r2 olur. 
Üçüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)2+(y+r)2=r2 olur. 
Dördüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi de (x-r)2+(y+r)2=r2 olur. 
Eksenlere teğet olan bu çemberlerin merkez koordinatları bölgelere göre şöyledir: Birinci bölgede A(r,r) ; ikinci bölgede B (−r,r) ; üçüncü bölgede C(-r,−r) ; dördüncü bölgede D(r,-r) olur.
 
Bir çemberin standart denklemi denklemi (x−a)2+(y−b)2=r2 ifadesi açıldığında x2+y2+Dx+Ey+F=0 şeklinde çemberin genel denklemi elde edilir. Bu denklemde katsayılar olan D, E, F gerçek sayılardır. 

x2+y2+Dx+Ey+F=0 Denkleminin çember belirtmesi için x2 ve y2 terimlerinin denklemde kesinlikle olması ve x2 ve y2 terimlerin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca x.y çarpanı şeklinde bir terim bulunmamalıdır. Ayrıca denklemde elde edilecek r yarıçapının tanımlı olması gerekir. (r>0) 

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin standart denklemi: (x−a)2 + (y−b)2 = r2 çemberin standart denklemi binom özelliğinden yararlanarak azalan kuvvetlere göre açılırsa:
(x−a)2+(y−b)2=r2 x2 − 2ax + a2 + y2−2by + b2 = r2
x2+y2−2ax−2by + (a2+b2−r2) = 0 bulunur.
Bu ifade kısa bir şekilde D, E ve F katsayılarıyla D=−2a, E=−2b ve F=a2+b2−r2 olacak biçimde en sade halde düzenlenirse; x2+y2+Dx+Ey+F=0 çemberin genel denklemi elde edilir. Bu genel çember denkleminde, çemberin merkezi M(-D/2, -E/2) olur.
x2+y2+Dx+Ey+F=0 tam kareye tamamlama işlemi ile yarıçap ve merkez koordinatları D, E ve F cinsinden yazılabilir. Yarıçap ifadesinde eğer karekök içi negatif çıkarsa, bu bir gerçek çember belirtmez. (bu denklemin reel sayılarda çözümü yoktur)

Çemberin genel denklemininde çemberin diskiriminantı denebilecek D2+E2-4F ifadesine göre üç farklı durum söz konusu olur.
1) D2+E2-4F>0 ise verilen denklem bir çember belirtir. 
2) D2+E2-4F=0 ise verilen denklem bir çember belirtmez.Yarıçap r=0 olduğundan bu denklem bir nokta belirtir. Bu nokta çemberin merkez koordinatlarıdır. 
3) D2+E2-4F<0 ise verilen denklem bir çember  belirtmez. Yarıçap ifadesi karekök tanımlı olmadığından hesaplanamaz.
 
Herhangi üç noktadan geçen bir çemberin denklemini bulmak için, çemberin genel denklemini: x2+y2+Dx+Ey+F=0 şeklinde kabul ederiz ve verilen üç noktayı bu denkleme yerleştirerek bir denklem sistemi kurarız. Bu denklem sistemi ikişerli olarak çözülerek D,E,F katsayıları bulunur. Bu katsayılara göre çember denklemi yazılır. 
 
Örneğin verilen 3 nokta: A(1,2), B(2,3), C(1,0) ise bu noktalardan geçen çemberin denklemini bulmak için genel çember denklemi: x2+y2+Dx+Ey+F=0 olarak alınır ve her nokta x ve y yerine koyularak bir denklem sistemi kurulur. 
A(1, 2) noktası için:
12+22+D(1)+E(2)+F=0⇒1+4+D+2E+F=0⇒D+2E+F=−5 
B(2, 3) noktası için: 
4+9+2D+3E+F=0⇒2D+3E+F=−13
C(1, 0) noktası için: 
12+02+D(1)+E(0)+F=0⇒1+D+F=0⇒D+F=−1
Bu üç denklemi kendi arasında ikişerli olarak yoketme metodu ile çözersek sonuçta denklemin katsayılarını D=-6, E=-2 ve F=5 buluruz. Bu katsayılara göre çemberin genel denklemi: x2+y2−6x−2y+5=0 olur. Böylece bu çemberin merkezi M(3,1) ve yarıçapı da r=√5 olur.
 

Sembolik mantık

Sembolik mantık, semboller ve özel işaretler kullanarak mantıksal ifadelerin ve ilişkilerin analiz edildiği bir matematik dalıdır. Mantık ifadelerin sözel dille yazılması, matematiksel semboller yerine doğal dil kullanılarak yapılan bir işlemdir. Önermelerin doğruluk ya da yanlışlık durumunu belirten ifadeleri Türkçe veya başka herhangi bir doğal dilde yazılabilmesi, "sembolik dili sözel dile çevirme" olarak tanımlanır. 
Örneğin, p → q (okunuşu: p ise q) sembolik önermesi p ve q herhangi iki önerme olmak üzere: "Eğer hava yağmurluysa, o zaman sokaklar ıslaktır" biçiminde sözel olarak yazılabilir. Bu tür önerme ifadeleri; çıkarımda bulunma, akıl yürütme, argümantasyon, dilbilim ve felsefe gibi alanlarda önemli bir rol oynarlar. Önermeler, matematikte sembollerle temsil edilir ve kurulan mantıksal ifadelerin doğrulukları tablolar ve mantık yasaları incelenir. Bu şekilde, önermeler mantığında belirli kural ve prensiplere dayanarak mantıksal sonuçlar çıkarılabilir. Sembolik mantık, sözel türdeki ifadelerin matematiksel ve mantıksal ilişkilerini analiz ederek akıl yürütmeyi ve sonuç çıkarmayı kolay hale getirerek işlemlerin yorumlanmasını ve değerlendirilmesini sağlar. Sembolik mantık, matematiksel ve bilgisayar bilimleri gibi alanlarda sıklıkla kullanılan bir araçtır ve mantıksal çıkarım süreçlerini daha sistemli, daha hızlı, daha kolay ve kesin bir şekilde ele almayı sağlar.
"Matematiksel mantıkta, semboller kullanılarak ifadeler, dikden bağımsız olarak kendi mantık yasaları çerçevesinde kolaylıkla analiz edilirerek yorumlanır.
Sözel dille ifade edilen cümleler, çeşitli sembol ve bağlaçlar (operatörler) kullanılarak matematiksel dille yeniden yazılır. Sözel dille ifade edilen cümleleri matematiksel dille ifade etmek için bazı semboller ve bağlaçlar kullanabiliriz. Örneğin: "Bir sayının 5 katı, o sayıdan 15 fazladır." şeklindeki ifadeyi matematiksel olarak şu şekilde yazabiliriz: (5x = x + 15). "Bir dikdörtgenin uzunluğu, enini 3 birim aşar." cümlesini ifade ederken de (B = E + 3) sembolik dili kullanılabilir. Burada (B) uzunluğu, (E) eni temsil eder. Buna benzer yazılan matematiksel dil, gündelik kelimeler yerine semboller ve matematik operatörlerini kullanarak bilgi aktarmamızı sağlar. Bu sayede ifadeler daha kesin ve anlaşılır hale gelir.
Örnek:
"P: Bugün hava güneşlidir. Q: "Hava, 20 derecedir." şeklinde iki ifade verildiğinde, "Bugün hava güneşli ise hava 20 derecedir." bileşik önermesi, sembolik mantıkta (p → q) şeklinde gösterilebilir.
Örnek:
"A gerçek bir sayı ise, o zaman B de gerçek ve C asal sayıdır." önermesi sembollerle p → (q ∧ r) olarak ifade edilebilir. 
Örnek:
"120 sayısı 3 ile bölünebilir ve çift bir sayı ise bu sayı 6 sayısının tam katı olmaz." önermesi sembollerle (p ∧ q)→r' olarak ifade edilebilir. 
Örnek:
"Bir üçgenin çevresi tek sayı olursa bu üçgen ancak ve ancak dik üçgen veya çeşitkenar üçgen olur." önermesi sembollerle p→(q V r) olarak ifade edilebilir. 
Örnek:
"Ali, bir erkek ismidir veya Ay dünyanın uydusu değilse iki ile tam bölünebilen bir sayı, 7 den büyük olur." önermesi sembollerle (p V q')→(r V s) olarak ifade edilebilir. 
Örnek:
"Bir isim A ile başlamazsa yazılan kelimeler 3 harfli olur ya da son harfi t ile bitmez." önermesi sembollerle p'→(q ⊻ r') olarak ifade edilebilir. 

Sembolik mantıkta önermeler; genellikle p,q,r,s,t...vb gibi küçük harfle gösterilirken iki ya da daha fazla önerme, birbirine ∧, V, ⊻, →, ↔ gibi bağlaçlar yardımıyla bağlanarak daha karmaşık bileşik önermeler oluşturulur. 
Mantıkta evrensel ve kısmi niceleyiciler de sembolik olarak ifade edilebilir. Bir önermenin evrensel olarak doğru olup olmadığını belirleyen bir kavrama "evrensel niceleyici" denir. Evrensel niceleyici kavramı (∀), bir önermenin tüm durumlar için doğru veya yanlış olup olmadığını belirtir. Örneğin, "Her insan ölümlüdür" ifadesindeki "her" sözcüğü evrensel niceleyicidir çünkü ifade tüm insanlar için doğru bir hüküm belirtir. Buradaki "ölümlü olma" hükmünün dışına hiçbir insan çıkamaz, yani cümlede geçen "ölümlülük" ifadesi bütün insanları kapsar. Evrensel nicelendirmeler, mantıksal ifadelerde belirli bir evrendeki tüm öğeler için bir ifadenin geçerli olduğunu belirtmek için kullanılır. "Bütün kuşlar uçabilir" ifadesindeki "bütün" evrensel niceleyici kullanarak, her kuşun uçma yeteneğine sahip olduğunu belirtiriz. Bu nicelendiriciler, bir kümeye ait tüm nesneler veya kavramlar hakkında genelleştirmeler yapmamıza, kesin hüküm vermemize veya evrensel doğruları ifade etmemize yardımcı olur. Evrensel niceleyiciler genellikle "her", "tüm", "bütün" "kesinlikle", gibi kavramlar yardımıyla ifade edilir. Bu kavramlar, hükümde genel geçerlilik ve doğruluk ifade etmek üzere kullanılır. Evrensel niceleyicisi, "Üniversal Niceleyici" (Universal Quantifier) olarak da isimlendirilir.  "∀" sembolü ile temsil edilir ve bu sembol kullanıldığı yerde "her" veya "tüm" anlamına gelir, cümlenin başında yazılır. Örneğin, "∀x (P(x))" açık önermesi "her x için P(x)" anlamına gelir.
Mantıkta varlık nicelikleri, ifadelerin içerdikleri öğelerin miktarını belirleyen ve onların gruplama biçimini tanımlayan önemli kavramlardır. Bu nicelikler, mantıksal ifadelerin doğruluğunu ve anlamını belirlerken kullanılır ve ifadeleri daha spesifik hale getirir. Evrensel nicelik ifadeleri tüm öğeleri kapsarken, varlık niceleyici ifadeleri ifadenin bir kısmını belirtir. Hiçbir nicelik ifadesi ise hiçbir öğeyi içermediğini belirtirken, bazı nicelik ifadesi belirli bir kısmını kapsar ancak tümünü kapsamaz. 
Varlık Niceleyicisi, (Existential Quantifier) "∃" sembolü ile temsil edilir ve "bazı veya birkaç" anlamına gelir. Örneğin, "∃x (P(x))" açık önermesi "bazı x'ler için P(x)" anlamına gelir.
Sık kullanılan Evrensel ve varoluşsal nicelendiricilere ek olarak, mantıkta diğer önemli nicelendiriciler de bulunmaktadır:
Tekil Varoluş Nicelendirici: "∃!" şeklinde temsil edilir ve belirli bir özelliği karşılayan yalnızca bir örneğin varlığını ifade eder. 
Örnek: "∃!x (P(x))" ifadesi "P(x) özelliğini karşılayan yalnızca bir x var" anlamına gelir.
En Az n Varoluş Nicelendirici: "∃≥n" olarak gösterilir ve belirli bir özelliği karşılayan en az n örneğin varlığını belirtir.
Örnek: "∃≥3x (P(x))" ifadesi "P(x) özelliğini karşılayan en az üç x var" anlamına gelir.
Mantıksal nicelendiriciler, bir alan üzerinde nicelendirme yaparak ve bu öğelerin karşılaması gereken koşulları belirtirken mantıkta önemli bir rol oynarlar.
Bu niceleyiciler, matematiksel ifadeleri ve mantıksal önermeleri doğru bir şekilde tanımlamak ve analiz etmek için sıklıkla kullanılır.
| | | | Devamı... 0 yorum

Mantık doğruluk tabloları

Mantıkta doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir ve önermeler genellikle p, q, r, s,... gibi küçük harflerle gösterilir. Verilen bir önerme doğru ise doğruluk değeri “1”, yanlış ise doğruluk değeri “0” dır. Böylece bir önermenin doğru ya da yanlış olma durumuna göre iki farklı doğruluk durumu vardır. Dolayısıyla birden fazla önerme olursa doğruluk durumu 2'nin kuvvetleri biçiminde değişiklik gösterir. n tane önermenin, 2n tane doğruluk durumu vardır. Bir mantıksal ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu gösteren tablolara doğruluk tablosu denir. Doğruluk tablosu, bir veya daha fazla basit ya da bileşik önermenin tüm olası doğruluk durumlarını ve bu durumlara karşılık gelen sonuçlarını tek parçada gösteren bir tablodur. Bağlaçların durumlarına göre oluşturulan önermelerin doğruluk durumları kolayca doğruluk tablosunda test edilebilir. 

Çift yönlü koşullu önerme

Çift yönlü koşullu önerme, "ancak" bağlacı ile kurulan bir önermedir. İki taraftan da koşulun sağlanmasını gerektirir. p ↔ q şeklinde sembolle gösterilir."p ancak ve ancak q ise" şeklinde okunur. p ↔ q önermesi esasında iki taraftan "ise" bağlacı ile kurulmuş koşullu önermenin "ve" bağlacı ile birleştirilmesiyle oluşmuştur. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)  Örneğin "Sınavı kazanırsan, ancak ve ancak üniversiteye gidebilirsin." önermesi çift yönlü koşullu önermeye örnek olarak verilebilir. 


"Ahmet derse gelirse, Ayşe de gelir." ve "Ayşe derse gelirse, Ahmet de gelir."cümlelerini tek bir ifadede birleştirebiliriz: "Ahmet ancak ve ancak Ayşe derse gelirse gelir." Bu cümlede iki farklı önerme vardır. p:"Ahmet derse gelir." ve q:"Ayşe derse gelir." Bu önermelerin birleşimi ile "ancak" bağlacı ile kurulmuş bir önerme olur. Mantıksal gösterimi: p ↔ q şeklindedir. Ahmet derse gelirse Ayşe ders gelir ve Ayşe ders gelirse Ahmet derse gelir." cümlesine eşdeğerdir. Cümlenin ifade ettiği anlam mantık açısından bir zorunluluk bildirip "Ahmet ve Ayşe'nin ikisi birlikte gelir ya da ikisi de gelmez" anlamındadır.
"Ancak ve ancak" bağlacı
nda, iki önermenin her ikisi doğruysa ya da her iki önermenin her ikisi yanlışsa sonuç doğru olur, önermelerden biri doğru diğeri yanlış ise sonuç yanlış olur. (1↔1 ≡ 1)   (0↔0 ≡ 1) p p→q koşullu önermesinin doğruluk değeri “1” ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. (p → q) ≡ 1 Çift yönlü koşullu önermeye, "Çift gerektirme" de denilir. (p ↔ q ≡ 1)

"Bugün ancak ve ancak pazartesiyse ders vardır." (p ↔ q) önermesinde doğruluk durumu şu şekilde yazılabilir. Öncelikle burada iki farklı önerme vardır. p: "Bugün pazartesidir." q: "Ders vardır." Ancak ve ancak bağlacında kural "p ↔ q için p ve q aynı doğruluk durumuna sahipse önerme doğru değilse yanlıştır. Buna göre bu önermelere bağlı olarak (p ↔ q) önermesinin doğruluk durumunu inceleyelim: 

1 ↔ 1≡ 1 "Eğer bugün pazartesi ve ders varsa" önerme doğru olur.

1 ↔ 0≡ 0"Eğer bugün pazartesi ama ders yoksa" önerme yanlış olur.

0 ↔ 1≡0"Eğer bugün pazartesi değil ama ders varsa" önerme yanlış olur.

0 ↔ 0≡ 1 "Eğer bugün pazartesi değil ve ders de yoksa" önerme doğru olur.

 Mantık Konusuyla ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Koşullu Önerme

Koşullu önerme, mantıkta bir şarta bağlı olarak kurulan önermelerdir. Şartın gerçekleşme durumuna göre koşullu önermenin doğruluk durumu değişiklik gösterir. p → q şeklinde yazılır ve şu anlama gelir: "p doğruyken q önermesi yanlış ise bileşik önerme yanlış, diğer tüm durumlarda önerme doğru olur. "Yağmur yağarsa yerler ıslanır" önermesi bir koşula bağlı olduğundan ise bağlacı ile kurulmuş bir bileşik önermedir. "yağmur yağıyorsa" (p), "yerler ıslaktır" (q) gibi iki ayrı önerme birbirine bağlaçla (ise) bağlanmıştır. "yağmur yağıyorsa" (p ≡ 1) "yerler ıslanmaz" (q≡0) durumu mümkün olmadığından yani 1 → 0 ≡ 0 olacağından bu durumda bileşik önerme yanlış olur. Bunun harici tüm durumlarda önerme doğru olur.


 Tabloda verilen tüm durumları inceleyelim.

1 → 1 yağmur yağıyor, yerler ıslanıyor → Beklendiği gibi, önerme doğru 

1 → 0 Yağmur yağıyor ama yerler ıslanmıyor → Beklenen olmadı, önerme yanlış.

0 → 1 Yağmur yağmıyor ama yerler başka bir sebeple ıslanmış → Yine de önerme doğru sayılır.

0 → 0 Yağmur yağmıyor, yerler ıslanmıyor → Koşul gerçekleşmediği için önerme doğru kabul edilir.


Koşullu önermelerin mantığında, sadece koşul gerçekleşip sonuç gerçekleşmezse önerme yanlıştır. Bunun (1 → 0 ≡ 0) haricindeki tüm durumlarda önerme doğru olur.  Ayrıca bir koşullu önermenin karşıt tersi de kendisine doğruluk durumu bakımından denk olur. Örneğin "Eğer yağmur yağarsa, zemin ıslanır." (A → B) "Eğer zemin ıslanmıyorsa, yağmur yağmamıştır." (B' →A') Bu iki cümle birbirinin denk önermeleridir (A → B) ≡ (B' →A') çünkü her durumda, biri doğruysa, diğeri de doğru olur; biri yanlışsa, diğeri de yanlış olur. 

Bir koşullu önermenin tersi, karşıtı ve karşıt tersi bulunabilir. Buna göre "Yağmur yağarsa yerler ıslanır." (p → q) önermesini inceleyelim: 

(p → q): "Yağmur yağarsa yerler ıslanır."

Koşullu Önermenin karşıtı (Converse) (q → p)
"Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde iki önermenin yerleri değiştirilir. Yani sonuç ile koşulun yerleri değişir.  Karşıt önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğer değildir.

(q → p): "Yerler ıslanırsa, yağmur yağar."

Koşullu Önermenin tersi ((Inverse) (p' → q')
"Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde her iki önermenin yerleri değiştirilmeden olumsuzları alınır. Yani her iki tarafın sadece değili alınır. Ters önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğer değildir.

 (p' → q'): "Yağmur yağmazsa, yerler ıslanmaz." 

Koşullu Önermenin karşıt tersi (Contrapositive) (q' → p') "Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde her iki önermenin hem yerleri değiştirilir hem de olumsuzları alınır.  Karşıt ters önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğerdir. Bu önerme, orijinal önerme ile mantıksal olarak denk kabul edilir..Yani biri doğruysa diğeri de kesinlikle doğrudur. (p → q) ≡ (q' →p')

(q' → p') "Yerler ıslanmazsa, yağmur yağmaz."

"İse" bağlacı ile kurulmuş bi koşullu önerme "veya" bağlacı kullanılarak da yazılabilir. Her ne kadar günlük kullanımda böyle bir kullanım yaygın olmasa da mantıksal açıdan (p → q) ≡ (p' ∨ q) önermesi birbirine doğruluk durumu bakımından denktir. "Eğer çalışırsan, başarılı olursun." (p → q) önermesi (p: çalışırsın, q: başarılı olursun) "Veya" bağlacıyla "Çalışmazsan veya başarılı olursun." (p' ∨ q) şeklinde yazılır.

| | | | Devamı... 0 yorum

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!