Deltoid ve Özellikleri

Etiketler : açıortay çokgenler deltoid dörtgenler geometri matematik

Çocukluğumuzda mutlaka uçurtma yapmayı denemiş veya satın alınan bir uçurtmayı uçurmak için yoğun çaba sarf etmişizdir. Hazır olarak alınanlarda belli bir denge olduğu için, daha kolay uçabilmektedir. Kendi yaptıklarımızın da sağlıklı bir şekilde uçabilmesi için belli özellikleri olmalıdır. İşte çocukluğumuzun güzel hatıralarında saklanmış, gökyüzünde sıklıkla karşılaştığımız bu geometrik şeklin adı deltoid'tir.  

Deltoid; matematikte taban kenarı aynı uzunlukta olan iki farklı ikizkenar üçgenin, taban kenarları ortak olacak şekilde birleşimi ile oluşur. Deltoidin en önemli özelliği, uçurtmada da görülebileceği gibi, köşegenleri olan ana eksenlerin birbirine dik olmasıdır. Uçurtmanın da dengeli olarak uçabilmesinin temel şartı bu dikliktir.

Deltoid için köşegenler dik kesişir. Deltoidin ikiz olmayan kenarları arasında kalan açılarının ölçüleri birbirine eşittir. İkizkenar üçgenin özelliği gereği, deltoidteki tepe açılarını birleştiren köşegen, aynı zamanda açıortaydır. Deltoidin farklı kenarlarının birleştiği köşelerdeki açıların ölçüleri eşittir. Köşegenleri dik kesişen tüm dörtgenlerde olduğu gibi deltoidin de alanı, köşegen uzunlukları çarpımının yarısı olarak bulunur. 

Eşkenar dörtgen, esasında özel bir deltoid biçimidir. (Bkz. Eşkenar dörtgen ve Özellikleri) Aynı şekilde kare de köşegenleri çizildiğinde iki ikizkenar üçgenin birleşimi şeklinde olacağından, deltoid olarak isimlendirilebilir. (Bkz. Karenin Özellikleri) Bunları ayrıntılı olarak şekil üzerinden de aşağıda izah edelim.

Yukarıda çizilmiş şekillerde ABCD karesi ve EFGH eşkenar dörtgeni ile bu dörtgenlerin karede [AC] ve eşkenar dörtgende [EG] köşegenleri çizilmiştir. Herhangi bir karenin, kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan, birinci şekildeki ABCD karesinde ABC ve ADC üçgenleri ortak tabanlı iki ikizkenar üçgendir. Bir eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan, ikinci şekilde de EFG ve EHG ortak tabanlı ikizkenar üçgenlerdir. Bundan dolayı kare ve eşkenar dörtgen ortak tabanlı iki ikizkenar üçgenden oluşmuştur. Sonuç olarak, kare ve eşkenar dörtgen özel bir deltoid'tir.

PROBLEM:

Uzunlukları 52 cm ve 67 cm olan iki çıta ile deltoid şeklinde bir uçurtma yapılacaktır. Uçurtmanın İplerini bağlamak için uçurtmanın köşelerinde ikişer cm boşluk bırakılmıştır. Uzun çıta kısa çıta tarafından 2 ve 5 ile orantılı olacak şekilde bölündüğüne göre; Düğümlenen ipleri göz ardı ederek uçurtmayı çevrelemek için kullanılacak ipin uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım. Uçurtmayı kaplamak için kaç cm² naylon kullanılacağını bulalım. (Katlanan bölgeler göz ardı edilecektir.)

ÇÖZÜM: 

Deltoidin köşelerini A, B, C ve D olarak adlandıralım. Çıtalar deltoidsel bölgenin köşegenlerini oluşturur. Bu yüzden çıtaların arasındaki açı 90° dir. Çıtaların kesim noktası E olsun. Köşelerde ikişer cm boşluk bırakıldığı için kalan uzunluk |BD|= 52-2-2=48 olur. Köşegenlerin kesim noktasına göre parçaların uzunlukları da |BE|=|ED|=(52- 4)/2= 24 cm  olur. 

Uzun çıtada aynı şekilde köşelerden 2cm boşluk bırakılacağı için deltoid bölgesine 67-2-2=63 cm kalır. Bu kalan uzun çıta, 2 ve 5 ile orantılı olacak biçimde iki parçaya bölüneceğinden, toplam uzunluğu 63 cmyi orantılı parçalara ayırmak gerekir. |EC|=5k, |AE|=2k  |AC|=7k=63 buradan da k=9cm olarak bulunur. 

Tepe noktasının köşegenlerin kesim noktasına olan uzaklığı; |AE|= 2k= 2.9= 18 cm bulunur. Geriye kalan parçanın uzunluğu da |EC|=63-18=45 cm olur.

AEB ve BEC dik üçgenlerinde Pisagor teoremlerinden küçük ikizkenar üçgenin ikizkenarlarının uzunlukları |AB| =30 cm (18-24-30) ve diğer büyük ikizkenar üçgenin ikizkenar uzunluklarının ölçüsü de |BC|=51 cm (24-45-51) olur. [Bu dik üçgenler (3-4-5) üçgeni ve (8-15-17) üçgeninin katlarıdır.]

Uçurtmayı çevrelemek için kullanılacak ipin uzunluğu deltoidin çevresinin uzunluğu kadar olacağından Deltoidin çevresi: 30+30+51+51 = 2.(30 + 51) = 162 cm ip kullanılacaktır. Kaplamada kullanılacak naylon miktarı deltoidsel bölgenin alanı kadar olur. Deltoidin köşegenleri, 48 cm ve 63 cm olduğundan bu köşegenlerin çarpımın yarısı, deltoidin alanını verir.  Deltoidin Alanı= 48.63/2 =1512 cm² olur.

Deltoidin alanı, vektörel olarak da ifade edilebilir. Vektörlerde iç çarpım özelliklerinden yararlanarak, köşegen vektörleri bilinen bir deltoidin alanı, köşegen vektörlerinin arasındaki açı 90 derece olduğu için, köşegen vektörlerinin normlarının çarpımının yarısı kadar olur.