Dörtgende Alan Bağıntıları

Etiketler : alan dörtgenler geometri ispat matematik

Herhangi bir dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları ile köşegenlerin arasında yer alan açının sinüsünün çarpımının yarısı ile hesaplanır.  Burada özel olarak açı 90 derece olarak alınırsa yani köşegenler birbiriyle dik kesişirse o zaman dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımının yarısı kadar olur.

Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde, ortaya çıkan dörtgenin alanı, büyük dörtgenin alanın yarısı kadardır. Bu şekilde oluşturulmuş dörtgenlerle ilgili kenar ve uzunluk bağıntılarına ait ispatlar, daha önceki yazımızda gösterilmiştir. (Bkz. Dörtgende Uzunluk Teoremleri)

Dörtgenin alanı, köşegen vektörleri verilirse (Bkz. Vektörlerde iç çarpım) bu köşegen vektörleri kullanılarak norm işlemleri yardımıyla da bulunabilir. Burada önemli olan vektörlerin koordinatlarının bilinmesi ve vektör işlemlerine vakıf olabilmektir. (Bkz.  iki-vektorün vektörel çarpmı)

Herhangi bir dörtgen için  p ve q dörtgenin köşegen vektörleri olmak üzere dörtgenin alanı; vektörlerde iç çarpım bağıntısından da yazılabilir:

Dörtgenler köşegenleri vasıtasıyla üçgenlere parçalanarak farklı üçgen bölümlere dönüştürülebileceğinden dörtgenin toplam  alanı ile ilgili çeşitli özellikler elde edilebilir. Bu bağıntıların tamamı, üçgende benzerlik özelliklerinden elde edilebilecek alan özellikleridir. 

Herhangi bir dörtgenin alanı, vektörler yardımıyla da bulunabilir. Bunun için vektörlerde iç çarpım özelliklerinden yararlanılır. Farklı dörtgen tipleri için ayrı ayrı vektörel alan formülleri elde edilebilir. Detaylı açıklama için ilgili yazıya bakabilirsiniz. (Bkz. Dörtgenlerin Vektörel alan formülleri)