Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

Etiketler :
Süreklilik matematik ve bir çok bilim dalında uygulamaları olan önemli bir kavramdır.  Bir fonksiyonun herhangi bir noktada sürekli olması için öncelikle o noktada tanımlı bir fonksiyon olması gerekir. Tanımsız olan bir noktada süreklilik aranmaz. Tanımlı olarak verilen bir noktada fonksiyonun sürekliliği araştırılırken fonksiyonun verilen x=a noktasında limitinin olması gereklidir. Yani fonksionun o noktadaki sağdan ve soldan limit değerleri birbirine eşit olmalıdır. Fonksiyonun verilen x=a noktasındaki limit değeri fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne yani f(a) değerine de eşit olmalıdır. Bu şartlar sağlandığında "fonksiyon x=a noktasında süreklidir" denir (continous function). Sürekli olmayan fonksiyon o noktada süreksiz olur. 

Süreklilik kavramı bir fonksiyonun tanım kümesine ait bir x0 noktası için f (x0) noktası ve x noktasının sağ ve sol tarafındaki değerler (noktanın sağ ve sol komşulukları) hakkında bilgi verir.  Bir x0∈R noktası için A kümesinin bir  ε>0 reel sayısı olmak üzere x0 noktasının herhangi bir ε komşuluğunda (x0ε , x0+ ε) ⊆ A özelliğine sahip bir alt kümesinde tanımlı bir f : A → R fonksiyonu için, x bağımsız değişkeni x0 reel sayısına yaklaşırsa f(x) değerleri de f(x0) değerine yaklaşmış olur. Bu şekildeki fonksiyonların sağdan ve soldan yaklaşma değerleri birbirine eşit ise fonksiyonun bu noktada limiti vardır. Bu limit değeri, fonksiyonun x0 noktasındaki f(x0) değerine eşit ise bu fonksiyon bu noktada sürekli olur. 

Süreklilik tanımının haricinde bazı f:A→R parçalı fonksiyonları için x bağımsız değişkeni x0 reel sayısına sağdan veya soldan yaklaştığında f(x) değerleri f(x0) değerine yaklaşmaz. Bu şekildeki fonksiyonlar x0 noktasında sürekli olmaz yani fonksiyon x0 noktasında süreksizdir. Bir fonksiyon bütün Reel sayılar kümesinde süreklilik tanımını sağlıyorsa fonksiyona sürekli fonksiyon denir. Polinom fonksiyonlar her noktada sürekli fonksiyonlara örnek olarak verilebilir.
Fonksiyonun sürekliliğini epsilon-delta tanımına göre gösterebilmek için verilen koşulun her durumda sağlandığı δ (delta) bir değerini ε (epsilon) cinsinden ifade edebilmemiz gerekir. Aşağıda buna bir örnek verilmiştir. Buradaki tanımın genel limit tanımından farkı; fonksiyonun o noktadaki (x=a noktasındaki) f(a değerinin limit tanımına yerleştirilmesidir.

0 yorum:

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • Eşlik ve Benzerlik Teoremleri29.03.2021 - 0 YorumAçı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. Eş olan ikizkenar üçgenlerde eşit uzunluğa sahip olan kenarların arasındaki açılar, aynı…
  • Cemaatler ve Namaz 08.05.2012 - 0 Yorum Namaz; İslam dininin olmazsa olmaz şartlarından biridir. İslamın beş şartını sayarken Kelime-i şehadet ile iman ettikten sonra sayılan ikinci ve en temel şart namazdır. Namaz ibadeti; peygamber efendimizin (s.a.v) hadis-i şeriflerinde dinin direği,…
  • Matematik korkusundan nasıl kurtulabilirsiniz?05.02.2009 - 1 YorumDeğişen ve hızla gelişen dünyamızda, genellikle öğrencilere sevilmeyen bir disiplin olarak görülen Matematiğin önemi ve yeri giderek artmaktadır.Matematiğin sözlük anlamı; "biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki…
  • Dikkat Eksikliği ve Hiperaktivite01.12.2011 - 0 Yorum Namık Kemal Üniversitesi (NKÜ) Psikiyatri Ana Bilim Dalı Başkanı Doç. Dr. Sultan Doğan, dikkat eksikliği ve hiperaktivitenin son yılların en büyük sağlık sorunlarından biri haline geldiğini söyledi.Doç. Dr. Doğan, çocukken başlayan dikkat eksikliği…
  • Hatem-i Esem'den zühd hayatı tavsiyesi21.01.2018 - 0 YorumEbû Berze el-Eslemî (r.a)’den rivâyet edildiğine göre Rasûlullah (s.a.v) şöyle buyurmuştur: “Hiçbir kul, kıyamet günü ömrünü nerede tükettiğinden, ilmiyle ne yaptığından, malını nereden kazanıp nereye harcadığından, vücudunu nerede yıprattığından…
  • Öğrencilerimizden Anlamlı Karikatürler30.04.2016 - 0 Yorum Çalıştığım lisedeki öğrencilerimizin; birlik, beraberlik ve terör konularında çizdiği onlarca karikatür ve resim fotoğrafları arasından seçtiğim birbirinden anlamlı üç karikatürü istifadenize sunuyorum. Gerçekten de gençliğimizin boş yetişmediğinin…
  • LYS-2016 Geometri Sınavı Çözümleri21.06.2016 - 0 Yorum LYS-2016 Geometri sınavı; son yıllarla kıyaslandığında önceki yılların sorularına benzemekle birlikte biraz daha düşünmeye ve uygulama becerisine yönelik tarzdaydı. Sınav soruları, sistemli ve planlı çalışan öğrencilerin yapabileceği sorulardan…
  • Pompei Sapıklığı15.09.2013 - 0 Yorum Pompei İtalya' nin Campania bölgesinde, Napoli kenti yakınlarında bulunan bir şehirdir. Pompeii antik şehri kalıntıları ile ünlü olan şehrin 2010 yılı nüfusu 25.000 civarındadır.Pompei bu özellikleri yanında tarihteki büyük felaketiyle hatırlanan…