Öklid Teoremleri ve ispatı

Öklid Teoremi: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Bir dik üçgende bir dik kenar uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir. (Bkz. Euclidin Hayatı ve Çalışmaları)

Pisagor Teoremi ve sonuçları

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. İşte bu kural pisagor teoremi olarak isimlendirilmiştir. 

Açılarına göre özel dik üçgenler

30°–60°–90° üçgeninde; Hipotenüsün uzunluğu, 30° lik açının karşısındaki kenarın 2 katıdır. 60° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, 30° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun √3 katıdır. 

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Dik üçgenlerde en çok kullanılan ve kenar uzunlukları tam sayı olan belirli üçgenler bilinmektedir. Eğer bu üçgenleri bilirseniz pisagor bağıntısını uygulamadan daha pratik olarak pekçok soruyu çözebilirsiniz. 

3–4–5 üçgeni: Kenar uzunlukları (3,4,5) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

8–15–17 üçgeni: Kenar uzunlukları (8,15,17) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

5–12–13 üçgeni: Kenar uzunlukları (5,12,13) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

7–24–25 üçgeni: Kenar uzunlukları (7,24,25) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

9-40–41 üçgeni: Kenar uzunlukları (9,40,41) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 

(20-21-29) üçgeni, (12-35-37) üçgeni,..... şeklinde devam ettirilebilir.

Brahmagupta ve Sıfır Sayısı

Brahmagupta (??598–668), yaşadığı tarihler tam olarak bilinmemektedir. 7.yy döneminin en ünlü Hint matematikçilerinden ve astronomlarından biri olduğu tahmin edilmektedir. Matematik ve astronomi alanında yaptığı katkılar, hem Orta Çağ Hindistan’ında hem de sonraki İslam ve Avrupa bilimlerinde etkili olmuştur. Brahmagupta, çoğunlukla günümüz Hindistan’ının Rajasthan bölgesinde yer alan Bhinmal civarında yaşamıştır. Eğitimini geleneksel Sanskritçe kaynaklar üzerinden almış ve edindiği bilgileri hem teorik hem de pratik alanlarda kullanmıştır. Brahmagupta’nın iki temel eseri vardır. Birincisi, 628 yılında yazdığı Brāhmasphuṭasiddhānta’dır. Bu eser matematik ve astronomi üzerine yazılmış teorik bir çalışmadır. Brāhmasphuṭasiddhānta, sıfırın (0) sayısal ve işlemsel kullanımını sistematik olarak ele alan ilk eserlerden biridir. Brahmagupta burada toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde sıfırın kurallarını açıklamış ve negatif sayılarla işlemleri tanımlamıştır. Ayrıca ikinci dereceden denklemlerin çözüm yöntemleri, geometrik hesaplamalar ve gök cisimlerinin hareketleri gibi konulara değinmiştir. İkinci eseri Khaṇḍakhādyaka ise 665 yılında yazılmıştır ve daha çok astronomi uygulamalarına yöneliktir. Bu eserde Güneş, Ay ve gezegenlerin hareketleri, takvim hesapları ve astronomik tablolar yer almaktadır.

Brahmagupta matematiğe özellikle sıfır ve negatif sayıların kullanımı konusunda önemli katkılar yapmıştır. Sıfırın toplama ve çıkarma işlemlerindeki etkilerini açıklamış, negatif sayıları borç ve pozitif sayıları alacak olarak temsil ederek işlemlerini tanımlamıştır. Ancak sıfır ile sıfırın bölünmesi gibi bazı kavramlarda kesin bir çözüm sunmamıştır. Bunun yanı sıra ikinci dereceden denklemlerin çözümü, cebirsel formüller ve bazı geometri problemleri de eserlerinde yer almaktadır.

Astronomide ise Brahmagupta, Dünya’nın ve gezegenlerin hareketleri üzerine hesaplamalar yapmış, Güneş ve Ay tutulmalarının zamanlarını belirleme yöntemlerini geliştirmiştir. Astronomik tablolar ve gözlemler için pratik hesaplama yöntemleri sunmuştur.

Brahmagupta’nın çalışmaları, sonraki yüzyıllarda İslam dünyasında El-Harezmi ve diğer matematikçilere, oradan da Avrupa’ya geçerek modern matematiğin temellerine katkıda bulunmuştur. Sıfırın matematikte sistematik kullanımını ve negatif sayıların işlemlerini tanımlaması, onun en önemli miraslarından biri olarak kabul edilmektedir.

Bahaüddin Abdissamed el-Amili

Bahâüddîn Muhammed b. Hüseyn b. Abdissamed el-Âmilî (953/1546-47 – 1031/1622), Şeyh-i Bahâî adıyla tanınan çok yönlü bir İslam âlimi, mutasavvıf, matematikçi, astronom, mimar, şair ve müderristir. Lübnan’ın güneyinde, Şiî nüfusun yoğun olduğu Cebel-i Âmil bölgesindeki Baalbek’te doğmuş, âlim yetiştiren bir aileden geldiği için küçük yaşlardan itibaren ilme ilgi göstermiştir. İlk eğitimini babasından almış, Arapça, hadis, tefsir ve fıkıh dersleri görmüştür. Babasının Safevî Devleti’nde Herat’a müftü olarak atanması üzerine İran’a göç etmiş ve bir süre Kazvin’de eğitimine devam etmiştir. Astronomi alanında “Anatomi des Himmels” adlı eserinde Dünya’nın kendi ekseni etrafında dönme olasılığını da tartışmıştır. İslam dünyasında Kopernik’ten önce dünyanın hareket ettiğini öne süren ilk astronomlardan biri kabul edilir. Aynı zamanda İslam felsefesinde “İsfahan Okulu” olarak bilinen geleneğin kurucularındandır ve Molla Sadrâ’nın hocasıdır. Arapça ve Farsça dillerinde yüzün üzerinde eser kaleme almış, İsfahan’daki Nakş-ı Cihan Meydanı ve Çarbek Caddesi’nin tasarımı ona atfedilmiştir. 

On yıl boyunca dönemin tanınmış hocalarından kelâm, felsefe, matematik ve tıp eğitimi almış, daha sonra Kudüs’e giderek Muhammed el-Makdisî’den Sahîh-i Buhârî okumuştur. Hayatının büyük bir kısmını ilim, telif ve uzun seyahatlerle geçirmiş; otuz yılı bulan seyahatleri sırasında Mısır, Irak, Hicaz, Suriye ve Anadolu’yu dolaşmış, farklı âlim ve sûfîlerle görüşmüş ve bazı eserlerini yazmıştır.
Dönemin Safevî hükümdarı I. Şah Abbas tarafından büyük saygı görmüş, şeyhülislâm unvanı ile onurlandırılmıştır. Buna rağmen zâhidâne ve mütevazı bir hayat sürmüş, daha sonraki yıllarında İsfahan’a yerleşmiş, burada hem eser telif etmeye devam etmiş hem de ders vermiştir. 13 Şevval 1031’de (21 Ağustos 1622- Bazı kaynaklarda vefatı 1030 (1621) veya 1035 (1626) olarak da geçmektedir) vefat etmiş, cenazesi Meşhed’e nakledilerek İmam Rıza Türbesi yakınında defnedilmiştir. Bahâüddîn Âmilî, ilim, sanat ve maneviyatı birleştiren şahsiyetiyle tanınmış, servet ve makamdan uzak durmuş, insanları bilgi ve ahlâklarıyla değerlendirmiştir. Bu yönüyle halk arasında efsanevi bir ün kazanmıştır. Bazı kaynaklar onun Sünnî olabileceğini ileri sürmüşse de, genel kabul onun samimi bir Şiî âlim olduğudur. Tasavvufa ilgi duymuş, ancak şeriata aykırı görüşleri reddeden ölçülü bir tasavvuf anlayışını benimsemiştir. İran İslam Devrimi lideri İmam Humeyni, eserlerinde Şeyh-i Bahâî’den sıkça alıntılar yapmıştır.

Yetiştirdiği öğrenciler arasında otuzdan fazla âlim bulunmuş, yaşadığı dönemde dinî ilimlerin yanı sıra matematik, astronomi, felsefe, edebiyat ve dil alanlarında da önemli eserler vermiştir. Doksana yakın kitap ve risalesi bulunmakta olup en tanınmış eserleri arasında “Ḫulâṣatü’l-ḥisâb” (matematik), “Teşrîḥu’l-eflâk” (astronomi), “el-Keşkûl” (felsefî, edebî ve dinî antoloji), “Câmiʿ-i ʿAbbâsî” (Şiî fıkhı) ve “Kitâbü’z-Zübde” (usûl-i fıkh) yer almaktadır. Ayrıca Arap dili ve edebiyatı, tefsir, hadis, fıkıh, matematik ve astronomi alanlarında da pek çok eser vermiştir. Arapça ve Farsça dillerinde kaleme aldığı manzum ve mensur eserleri, hem Safevî İran’ında hem Osmanlı coğrafyasında uzun yıllar okutulmuş ve etkili olmuştur.  Arapça olarak yazdığı Hulâsâtü'l-Hisâb (Aritmetiğin Esasları) adlı eseri, muhtelif zamanlarda Farsça ve Almancaya defalarca çevrilmiş, 20. yüzyılın başlarına kadar ders kitabı olarak okutulmuştur.

Farsça şiirlerinde “Bahâî” mahlasını kullanmış, Mevlânâ’yı örnek alarak didaktik ve ahlâkî mesneviler kaleme almıştır. "Nân ü Halvâ, Şîr ü Şeker, Nân ü Penîr ve Mûş u Gürbe" gibi eserleri bu kapsamda değerlendirilebilir. Şeyh-i Bahâî hem İslam dünyasında bilimin ve felsefenin yeniden canlanmasında etkili olmuş bir düşünür hem de Şiî ilim geleneğinin önde gelen temsilcilerinden biridir. Yaşadığı dönemde aklî ve naklî ilimleri birleştiren nadir şahsiyetlerden biri olmuş, bilim, sanat, felsefe ve tasavvufu bütünleştiren mirasıyla sonraki yüzyıllara kaynak olmuştur.

Sinüs teoremi ve ispatı

Sinüs teoremi, bir üçgende (kirişler üçgeni) bir kenar ve bu kenar karşısındaki açının sinüsleri oranı sabittir. Bir açının sinüsü trigonometri bilgisinden hatırlanacağı üzere, dik açılı üçgenlerde dik olmayan bir açının karşısında kalan dik kenar ile hipotenüsün (dik açının karşısında kalan kenarın) birbirine oranıdır. Kısaca açının sinüsü, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüse oranıdır. Sinüs teoremi, bir açı ve iki kenar verildiğinde; bilinmeyen bir açıyı bulmak veya iki açı ve bir kenar verildiğinde de bilinmeyen bir kenar uzunluğunu bulmak için oldukça yararlı bir teoremdir.

YKS 2020 Matematik Netleri Sayısal Bilgiler

Temel Matematik testi

Ortaöğretim kurumlarının son sınıfında okuyan öğrencilerin TYT Matematik Net ortalaması: 6,082 nettir. Bu ortalamaya liseden mezun olmuş olan adaylar da dahil edildiğinde, tüm adayların TYT Matematik Net ortalaması: 5,556 net olmuştur.

AYT Matematik testi

Ortaöğretim kurumlarının son sınıfında okuyan öğrencilerin AYT Matematik Net ortalaması: 8,015 nettir. Bu ortalamaya liseden mezun olmuş adaylar da dahil edildiğinde tüm adayların AYT Matematik Net ortalaması 7,584 net olmuştur.

YKS 2020 sınavına ait TYT ve AYT testlerinin matematik ortalamaları aşağıdaki grafikte verilmiştir.

2020 AYT Matematik Çözümleri (PDF)

2020 AYT Matematik sınavındaki sorular, lise müfredatı içerisinde olan konulardan oluşmuştur. Bu sınavda 12.sınıf 2. dönem müfredatında yer alan konulardan soru sorulmamıştır. 

Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz. 

https://www.osym.gov.tr/ 

https://www.osym.gov.tr/TR,19369/2020-yks-tyt-ayt-ve-ydt-temel-soru-kitapciklari-ve-cevap-anahtarlari.html (Erişim Tarihi (09/04/2023)

2020 AYT Matematik sınavındaki sorular, fazla zorlayıcı olmayacak şekilde klasik diyebileceğimiz sorulardan oluşmuştur. COVİD-19 Salgını nedeniyle 2.dönem okullar tatil edilip uzaktan eğitime geçildiğinden dolayı, müfredatta bazı kısımlardan sınavda soru sorulamamıştır. Özellikle 12.sınıfın ikinci dönem müfredatında yer alan, türev ve integral gibi ağır konulardan sınavda soru çıkmamıştır. Konu dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir.

2020 AYT MATEMATİK	Adet
Temel Kavramlar-Akıl Yürütme	3
Asal Sayılar, Asal Çarpanlar	1
Üslü sayılar	1
Bölme ve Bölünebilme	1
Basit Eşitsizlikler ve sıralama	1
Mutlak Değer	1
Kümeler	2
Fonksiyonlar	2
Binom	1
Permütasyon-Kombinasyon	1
Olasılık	1
Polinomlar	2
2.Dereceden Denklemler	1
2.Dereceden Eşitsizlikler	0
Parabol	1
Mantık ve İspat Yöntemleri	0
Trigonometri	4
Karmaşık Sayılar	2
Logaritma	3
Diziler	2
Limit ve Süreklilik	0
Türev ve Uygulamaları	0
İntegral	0
Üçgenler	2
Dörtgenler-Çokgenler	2
Çember ve Daire	2
Doğrunun Analitik İncelemesi	2
Dönüşümler Geometrisi	1
Katı Cisimler	1
Toplam	40

AYT 2020 Matematik testi çözümlerine pdf olarak ulaşmak istiyorsanız bağlantıya tıklayınız.