Cosinüs teoremi ispatı

Etiketler : cosinüs fonksiyonu cosinüs teoremi ispat matematik teorem ispatları trigonometri

Kosinüs Teoremi, üçgenlerde kenar uzunlukları ile açıların arasındaki ilişkiyi veren bir teoremdir. Bir üçgende eğer iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi kullanılır. Üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa,herhangi iki kenar arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teoreminin tersine çevrilmiş hali kullanılır. Dik üçgenlerde kosinüs teoreminin özel hali olan pisagor teoremi kullanılır.

Kosinüs teoremi ispatlanırken ABC üçgenini koordinat düzleminde gibi düşünerek kolaylık olması açısından noktalar arası uzaklık formülü kullanılarak hesaplama yapılabilir. Hangi açının cosinüs bağıntısı yazılacaksa o açıdan karşı kenara bir dikme inilerek buralardaki pisagor teoremleri yazılarak sonuca ulaşılmış olur.

Yukarıda verilen ispatta bilinmeyen ifadeleri biraz daha sadeleştirerek B açısına göre cosinüs bağıntısı yazılırsa, o açıdan karşı kenara bir dikme inilerek buralardaki pisagor teoremleri yazıldığında daha kolay görülebilecek bir ispat yapılmış olur.

 

 

 

Kosinüs ve sinüs teoremleri aynı soru içinde uygulanabilir. Bir üçgende üç kenar uzunluğundan açı veya kenar hesabı yapıldıktan sonra diğer bağlı üçgende bu kenar veya açılar kullanılarak sinüs teoreminden ilgili kenarlar veya açılar bulunur. Bazen iki farklı üçgen için ayrı ayrı kosinüs teoremi kullanıalrak aralarında bir eşitlik yakalanarak çözüme ulaşılır. Sinüs teoremi ispatı ve örnekleri ile ilgili ayrıntılı bilgi için tıklayınız. (Bkz: Sinüs Teoremi İspatı)

 Dar açılı bir üçgen üzerinde kosinüs teoremi görsel bir yolla da gösterilebilir. Daha önce pisagor teoreminde de benzer bir ispatlama metodu kullanılmıştı. (Bkz. Pisagor Teoremi İspatı) Burada da aynı yöntem üzerinden bir üçgenin kenarları üzerinde kareler inşa edilerek, bu karelerden belli alanlar çıkartıldıktan sonra kosinüs teoremi oluşturulur. 

Yöntemde, üçgenin kenarları üzerine kareler çizilmesi ve bu karelerin alanları üzerinden çıkarım yapılmasıyla kosinüs teoremi tanımlanmaktadır. a ve $b$ kenarlarının kareleri çizildiğinde a² ve b² alanları elde edilir. Benzer şekilde c kenarının karesi de çizildiğinde c² alanlı kare meydana gelir. Bu görsel düzenlemeye göre, karelerden belli parçalar çıkarıldığında kosinüs teoremi bulunur. Bu yöntem, özellikle öğrencilerin görsel olarak kareler ve dikdörtgenler üzerinden çıkarım yapmalarına imkân tanımakta ve ezber yerine sezgisel bir anlayış kazandırmaktadır. Ayrıca, C açısı dik açı olduğunda cos(90^o)=0 olduğundan ve formül Pythagoras teoreminin klasik haline dönüşmüş olur.

 

Farklı bir ispat metodu da üçgenin üzerinde iki farklı nokta seçilip bunlar arasında bir üçgen oluşturularak benzerlikten yola çıkarak cosinüs teoreminin doğruluu gösterilebilir. Burada pisagor teoremi de kullanılmamış olur. Bu ispat, kosinüs yasasının klasik formülünü farklı bir bakış açısıyla ortaya koymuş olur. 

Bir ABC üçgeninin kenarları a, b ve c; karşılarındaki açılar ise sırasıyla A, B ve C olarak adlandırılmış olsun. Üçgenin AB kenarı üzerinde farklı iki nokta seçilir: D ve E. noktaların üçgenin kenarı üzerinde olsun. D noktası, A köşesine yakın, E noktası ise B köşesine yakın olarak konumlansın. D ve E noktalarını A köşesi ile birleştirerek iki farklı üçgen oluşturalım. Bu üçgenler arasında benzerlik ilişkileri mevcuttur. ABC üçgeni, ACD ve CBE üçgenlerine benzetilir. ve bu benzerlikler doğrultusunda kenarlar arasında bazı uzunluk ilişkileri elde edilir. Buna göre: |AD|=b²/c’ye eşit olarak yazılır, |EB|=a²/c’ye eşit olarak bulunur. [DC] ve [EC] uzunlukları ise (a.b)/c’ye eşit olarak gösterilir. D ve E noktaları arasındaki doğru parçasının orta noktası M olarak isimlendirilsin ve bu noktaya C köşesinden bir dikme çizilsin. Burada [CM] doğrusu [AB ]doğru parçasına dik olarak çizilir. [DM] ve [ME] uzunlukları için işaretlenir. Vektörel olarak DE doğrusu, AB doğrusu ile aynı yönde ise bu uzunluklar pozitif; aksi takdirde negatif olarak kabul edilir. Buradan [AB] kenar uzunluğu, [AD], [DM], [ME] ve [EB] parçalarının toplamı şeklinde ifade edilir.

[AB]=[AD]+[DM]+[ME]+[EB] Benzer üçgenlerden elde edilen bilgiler doğrultusunda, [DM] ve [ME] uzunlukları, bulundukarı dik üçgenler yardımıyla C açısının kosinüsü ile ilişkilendirilir ve her ikisi de [DM]=[ME]=(-ab/c).cosC olarak bulunur. Bu ifadeler AB uzunluğunun toplamına yazıldığında, c uzunluğu şu şekilde bulunur:

|AD|=b²/c , |EB|=a²/c , [DM]=(-ab/c).cosC, [ME]= (-ab/c).cosC eşitlikleri 

[AB]=[AD]+[DM]+[ME]+[EB]  ifadesinde yerlerine yazılırsa; 

[AB]=b²/c -2 (-ab/c).cosC + a²/c Bu denklemin her iki tarafı c ile çarpıldığında klasik kosinüs yasası formülü elde edilir: c²=b²⁺a²- 2.a.b.cosC

Sonuç olarak, bu ispat, üçgenin kenarları üzerinde özel olarak seçilen noktalar ve benzer üçgenlerin özellikleri kullanılarak kosinüs yasasının doğruluğunu gösterir.

Kaynakça:
https://samjshah.com/2018/03/06/a-nice-proof-for-the-law-of-cosines/
https://ocw.nagoya-u.jp/files/516/Course1-Lesson12.pdf
https://downstairsmath.weebly.com/uploads/3/7/1/8/37189031/m1410602.pdf
https://tr.wikipedia.org/wiki/Kosinus_teoremi
https://meangreenmath.com/2014/02/28/a-new-proof-of-the-law-of-cosines/