Alt dizi kavramı

Etiketler : alt dizi diziler matematik

Alt dizi, bir dizinin terimlerinden seçilmiş ve orijinal dizideki sıralama korunarak oluşturulmuş yeni bir dizidir. Başka bir deyişle, bir dizinin bazı terimleri atlanarak kalan terimler aynı sıra ile bir araya getirildiğinde elde edilen diziye alt dizi denir. Alt dizinin terimlerinin indisi, orijinal dizideki terimlerin indislerine karşılık gelen doğal sayıların artan bir alt kümesidir. Alt diziler, özellikle dizilerin limit davranışlarını incelemede önemli bir kavramdır.

Alt dizi kavramını pekiştirmek için örneklerle açıklamak yararlı olacaktır. Örneğin, a_n orijinal dizisi a_n=(1, 3, 5, 7, 9, 11,…2n-1....) olsun. Bu diziden bazı terimleri seçip sırayı bozmadan oluşturabileceğimiz alt diziler şunlardır: b_n=(1, 5, 9, 11, …4n-3....) ; c_n=(3, 7, 11, …4n-1...) ; d_n=(1, 3, 5, ..…2n-1...) ; e_n=(9, 15, 21, 27.....6n+3...) dizilerinin herbiri a_n dizisinin birer alt dizileridir. Örnekten de görüldüğü gibi, alt diziyi oluştururken dizideki terimlerin sırası ve monotonluk durumu korunmuştur; arada bazı terimler atlanabilir ama sıralama değiştirilmez. 

Başka bir örnek olarak p_n==n² tam kare dizisini ele alalım: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Bu verilen p_n  dizisinin alt dizilerden bazıları şöyle olabilir: k_n= (1, 9, 25,.....) ; m_n=(4, 16, 36, …) ; z_n=(9, 81, 225, 256, …)  dizileri p_n==n² tam kare dizisinin birer alt dizisidir.

 

Alt diziler, dizinin limitlerini ve özelliklerini incelemek için özellikle analizde önemlidir. Örneğin bir dizinin tüm alt dizileri aynı limite sahipse, orijinal dizinin de o limite sahip olduğu sonucuna varılabilir. 

Alt dizi kavramı, matematikte özellikle dizilerin davranışlarını ve yakınsama özelliklerini incelemek için kullanılır. Bir dizinin limitini belirlemede alt diziler önemli bir araçtır; çünkü bir dizinin tüm alt dizileri belirli bir sayıya yakınsıyorsa, orijinal dizinin de aynı sayıya yakınsadığı sonucuna varılabilir. Ayrıca alt diziler, dizilerin monotonluk, sınır değerler ve üst-alt limitler gibi özelliklerini ortaya koyma işlemlerinde de kullanılır. Dolayısıyla alt diziler, bir dizinin genel davranışını anlamak ve daha karmaşık matematiksel yapıların incelenmesinde güvenilir bir yöntem sağlar.

Algoritma ve bilgisayar biliminde orjinal bir diziden (veya listeden) sırası bozulmadan seçilmiş bir elemanlar kümesi olarak eleman seçimi için alt dizi tanımlanır. Matematikteki tanıma benzer şekilde, bir alt dizi orijinal dizideki elemanların sırasını korur; aradaki bazı elemanlar atlanabilir, ancak sıra değiştirilemez. 

Algoritma ve bilgisayar biliminde alt diziler, farklı problemlerin çözümünde önemli bir rol oynar. Örneğin, verilen bir dizideki en uzun monoton artan alt diziyi bulmak, bir sayı dizisindeki alt diziler arasından maksimum toplam veya çarpımı veren alt diziyi bulmak, ürün optimizasyonu, kombinasyon hesaplamaları gibi dinamik programlama ve yazılım işlemlerinde kullanılır. Bu şekilde alt diziler, hem dizilerin yapısını anlamak hem de çeşitli optimizasyon, yazılım ve analiz problemlerini çözmek için temel bir araç konumunda olur.