Dizi tanımı

Etiketler : diziler fonksiyon matematik
 

Matematikte dizi, 0 hariç doğal sayılar (sayma sayılar kümesi) kümesinden bir A hedef kümesine (çoğunlukla bu A kümesi Reel sayılar kümesi olur) tanımlanan özel bir fonksiyondur. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli ifade dizinin tanım elemanları {1,2,3,4,.....} şeklinde devam eden sayma sayılarıdır. Yani dizinin elemanları 1. 2. 3. gibi sıralanmalıdır. Buradaki bu sıralamalara "indis" denir. Matematikte indis, bir dizinin terimlerini belirlemek ve sıralamak için kullanılan, genellikle doğal sayılardan seçilen gösterge niteliğindeki değişkendir. Başka bir deyişle indis, bir dizide hangi terimin kastedildiğini belirleyen konum belirtecidir. 

Diziler genellikle a_n, b_n, c_n... gibi küçük harf ve indis yardımıyla gösterilir. Bir (a_n) dizisinde yer alan “n” ifadesi indisi temsil eder. Bu n değeri, dizinin tanım kümesindeki bir elemandır ve diziyi üreten fonksiyonun girdisi olarak görev yapar. Dolayısıyla indis, dizinin elemanlarını hem düzenli bir biçimde sıralamaya hem de her terimi diğerlerinden ayırt etmeye yarayan bir göstergedir. Buna göre bir dizi, her sayma sayısı indisine karşılık tek bir değer atayan özel bir fonksiyon kuralı olarak tanımlanabilir.  Bu çerçevede diziler, fonksiyon kavramının belirli bir türünü oluşturur; ancak matematiksel literatürde ardışıklık ve sıralanmışlık özellikleri vurgulanmak istendiğinde diziler ayrı bir terim olarak kullanılır. Dolayısıyla a_n dizisi, fonksiyonel gösterimde f(n) biçiminde okunabilir. Dizilerin fonksiyonla ilişkisi bu noktada açıkça ortaya çıkar: Dizi, tanım kümesi sayma sayılar olan bir fonksiyondur. 

Dizinin kuralına dizinin genel terimi denir. Genel terim, bir dizinin her bir terimini, indisin herhangi bir değeri için doğrudan veren ifadedir. Başka bir söyleyişle genel terim, diziyi tanımlayan, fonksiyon şeklinde yazıldığında bütün terimelrini oluşturacak olan dizinin açık kuralıdır ve dizinin n’inci terimini, önceki terimlere ihtiyaç duymadan belirler. Bir dizide an sembolü çoğu zaman dizinin genel terimini temsil eder. Bir dizinin genel terimi bilindiğinde dizinin tüm yapısı tek bir formülle özetlenmiş olur.. Eğer bir dizinin genel terimi biliniyorsa, dizi hakkında toplama, limit alma veya büyüme davranışını inceleme gibi işlemler çok daha kolay hâle gelir. 

Genel terimi bilinmeyen sayı grupları her ne kadar anlamlı olsa da bir dizi belirtmez. Örneğin herhangi bir küme olarak verilen A={1, 2, 3, 4, 5......} ; B={2, 4, 6, 8, 10, .....} veya C={4, 7, 10, 13, 16, 19,.....}  şeklindeki sayı grupları, kuralları belli olmadığından matematiksel dizi olmaz. Çünkü bu şekilde yazılışta bu terimlerden sonra gelen terimlerin aynı düzene göre geleceğinin garantisi yoktur. Bunların dizi olabilmesi için  a_n=(1, 2, 3, 4, 5.......n......), b_n=(2, 4, 6, 8, 10, ......2n.....), c_n =(4, 7, 10, 13, 16, 19,......3n+1........) şeklinde yazılmış olması gerekir.

Diziler; Açık kural, Özyinelemeli tanım (indirgeme bağıntısı yardımıyla tanımlama), Sözel veya kurala dayalı tanım gibi üç temel yöntemle tanımlanabilir: Açık kural ile tanımlama: Her n için dizinin n’inci terimini belirleyen açık bir ifade verilir. Yani fonksiyon gibi dizinin de kuralı bellidir. Bu durumda dizi için tanımlanan fonksiyon, her indise doğrudan bir değer atamış olur. Özyinelemeli tanımlama: Bir veya birkaç başlangıç terimi belirlenir; ardından her terim kendinden önceki terimler aracılığıyla tanımlanır. Bu tür bir tanımlama, fonksiyonun değerlerini ardışık bağımlılık içinde belirler. Örneğin herhangi bir dizi; n≥1 için (a_3n+2) =(a_n+2) + (a_n) gibi bir indirgeme bağıntısıyla tanımlanır. Sözel veya kurala dayalı tanımlama:a_n dizisindeki “n’inci terim, n’den küçük en büyük çift sayıdır” gibi, her indise karşılık gelen değeri bir kural aracılığıyla belirleyen tanımlar kullanılır. Bu tür tanımlar da işlevsel bir atama gerçekleştirdiği için fonksiyon niteliği taşır. Sonuç olarak, dizi kavramı fonksiyon kavramının doğal sayı temelli bir alt sınıfı olarak değerlendirilir.

Kuralı verilen her ifade dizi belirtmek zorunda değildir.  Tanım kümesi şartlarını sağlamayan kurallar dizi oluşturmaz. Aşağıda verilen örneklerde dizi tanımına uygun olan ve uygun olmayan ifadeler sıralanmıştır: 

a_n = 5n + 1 Bu ifade bir dizi belirtir. Her doğal sayı n için tanımlıdır ve her n’e tek bir değer karşılık gelir.

b_n= (n + 1) / (n + 3) Bu ifade bir dizi belirtir. Burada sıkıntılı olan kısım paydadır. Payda 0 olursa ifade tanımsız olur. Burada paydayı sıfır yapan n değeri -3 olduğundan bu ifade zaten dizi tanım kümesinde yoktur. Çünkü n bir sayma sayısı olarak tanımlanmıştır. n yerine yazılan doğal sayılar için payda sıfır olmaz; dolayısıyla her n için bu ifade tanımlıdır ve bir dizi oluşturur.

c_n= (2n + 1) / (n – 3) Dizi belirtmez. Üstteki örneğe benzer şekilde paydasını incelemek gerekir.  n = 3 için payda sıfır olduğundan tanımsızdır. Yani c₃ terimi yoktur. Dolayısıyla dizi belirtmez. Eğer tanım kümesi “3 dışındaki doğal sayılar” olarak alınırsa o zmaan bir fonksiyon tanımlar. 

d_n= √(n – 4) Bu ifade bir dizi belirtmez. Köklü ifadelerde kök derecesi çift iken kökün içinin pozitif veya 0 olması gerekir asla kök içi negatif olamaz. Bu ifade yalnızca n ≥ 4 için tanımlı olacağından dizi belirtmez.. Doğal sayıların tamamında ifade tanımlı değildir. Dizi tanımını karşılamadığı için dizi olmaz. Çünkü dizinin d_1, d₂, d₃ elemanları yoktur. Fonksiyon olabilmesi için tanım kümesi  n ≥ 4 şeklinde olmalıdır. 

e_n = √(n + 3) Bu ifade bir dizi belirtir. n yerine her doğal sayı yazılabilir. Bu köklü fadeyi tanımsız yapacak değerler -3 ≥ n şartını sağlamalıdır. Dolayısıyla n yerine her zman sayma sayısı yazılacağı için böyle bir tanımsızlık söz konusu değildir.  e_n  ifadesi dizi tanım şartını sağlar ve her n için tek bir değer elde edilir.

f_n  = cot(n°) Bu ifade tanımsız olduğu doğal sayılar bulunduğu için doğal sayıların tümü üzerinde dizi belirtmez. Cotanjant fonksiyonu (cosx/sinx) şeklinde yazıldığından sinx=0 olduğunda bu açılar için tanımsız olur. Açı olarak 180, 360, 540,...gibi açılar seçilirse dizi tanımlı olmaz. 

g_n = cos(n°) Bu ifade bir dizi belirtir. Kosinüs tüm açılar için tanımlıdır; her doğal sayı n için tek bir değer vardır.

h_n = log(n – 1) Bu ifade bir dizi belirtmez. Çünkü logaritma tanım şartlarını sağlamaz. Logaritma içi asla negatif ve sıfır olamaz. Burada kuralda ilk terim h₁ tanımlı değildir. Dolayısıyla h_n dizi olmaz. Kuralın fonksiyon olabilmesi için tanım kümesi n > 1 olarak seçilmelidir.

k_n = 1 / n  Bu ifade  bir dizi belirtir. Her n sayma sayı değeri için k_n tanımlıdır.   k_{1 ,} k_{2 ,} k_{3 ...} elemanlar dizinin terimleri olur.

m_n=(n – 1) / n Bu ifade bir dizi belirtir. n ≥ 1 için payda sıfır olmaz ve her n’e tek bir değer karşılık gelir.

Sonuç olarak, bazı ifadeler tüm doğal sayılar üzerinde dizi tanımlar, bazıları ise tanım kümesinin uygun biçimde daraltılması hâlinde fonksiyon olarak tanımlanır. Tanımsızlık olan en az bir n değeri varsa ifade doğal sayıların tamamı üzerinde dizi oluşturmaz.