Monoton Diziler

Etiketler : diziler matematik monoton dizi

Matematikte monoton, bir dizinin terimlerinin sürekli olarak artma veya sürekli olarak azalma eğiliminde olması anlamına gelir. Yani dizi boyunca yön değişmez; ya hep yukarı doğru gider ya da hep aşağı doğru gider. Bir dizi monoton artan ya da monoton azalan ise, genel olarak monoton dizi olarak adlandırılır.  

Bir a_n dizisinin her terimi bir sonrakinden daha küçük kalıyorsa, bu diziye monoton artan dizi denir. Bu durumda dizinin terimleri a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ <.....biçiminde sıralanır. Benzer şekilde, bir dizinin her terimi bir sonrakinden daha büyükse, bu diziye monoton azalan dizi adı verilir. Böyle bir dizide a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅ >....eşitsizliği sağlanır. Böylece dizideki her eleman bir öncekinden daha küçük olacak şekilde devam eder. 

Örnek olarak; a_n=1/n dizisinin monotonluğu var mı yok mu inceleyelim.  Dizinin genel terimi a_n=1/n biçimindedir.  İlk terimler sırasıyla a₁=1, a₂ =1/2, a₃=1/3, a₄=1/4, a₅=1/5  dur. n artan sayma sayıları için daima a_n+1<a_n eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla dizinin her terimi bir önceki teriminden daha küçük olarak gelir ve böylece bu dizi monoton azalan olur. Aşağıda grafiği de çizilmiştir. Terimleri sıralı ikili biçimde yazılıp koordinat düzleminde yerleştirildiğinde dizinin moton azalan olduğu görülür: 

Örnek olarak a_n=3n+1 dizisinin monotonluğunu inceleyelim. Dizinin genel terimi a_n=3n+1 biçimindedir. İlk terimler sırasıyla a₁=4, a₂ =7, a₃=10, a₄=13, a₅=16  dur.  Bir sonraki terim genel terimde n yerine (n+1) yazıldığında a_n+1=3.(n+1)+1=3n+4 bulunur. Görüldüğü üzere her n artan değerleri için dizi terimleri a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ <.....<a_n<a_{n+1 ...}eşitsizliğini sağlamaktadır. Dolayısıyla bu dizi monoton artandır.

 

Örnek olarak; a_n=n²+1 dizisinin monotonluğu var mı yok mu inceleyelim. a_n+1−a_n=(n+1)²+1−(n²+1) ifadesi elde edilir. Bu fark açıldığında n²+2n+1+1−(n²+1)=2n+1 biçimine indirgenir. Bu değer n artan sayma sayıları için daima 2n+1>0 olduğundan her doğal sayı için pozitif sonuç verir. Dolayısıyla a_n+1>a_n eşitsizliği sağlanır ve böylece bu dizi monoton artan olur. 

 

Başka bir örnek olarak a_n=n²−4n dizisinin monotonluğunu inceleyelim. Dizinin ilk terimleri sırasıyla a₁=1²−4.1=-3, a₂=2²−4.2=-4, a₃=3²−4.3=-3, a₄=4²−4.4=0, a₅=5²−4.5=5 dir. Bu değerler incelendiğinde dizinin önce azaldığı, daha sonra arttığı görülmektedir. Yani dizi belirli bir noktaya kadar düşüp sonra yükselmektedir. Bu dizi kuralı esasında parabolik bir fonksiyondur. Bu nedenle bu dizi monoton değildir. 

Bir dizinin monoton olup olmadığını incelerken en yaygın yöntem, a_n+1−a_n farkının işaretine bakmaktır. Bu fark pozitif ise a_n+1 > a_n olacağından dizi monoton artandır. Eğer bu fark negatif ise a_n+1 < a_n olur ve bu dizi monoton azalandır. Bu ifadeyi biraz daha detaylı olarak yazmak istediğimizde şu sonuçlar geçerli olur: 

 

1) a_n+1 > a_n ise dizi monoton artar. 2) a_n+1 < a_n ise dizi monoton azalır. 3) a_n+1 ≥ a_n ise dizi monoton artmayandır. 4) a_n+1 ≤a_n ise dizi monoton azalmayandır. 5) a_n+1 = a_n  eşitliği sağlanıyorsa dizi sabit bir dizidir. 

 

Sabit bir dizi, tüm terimlerinin birbirine eşit olması nedeniyle hem monoton artan hem de monoton azan bir dizidir; bu nedenle sabit diziler monoton diziler kapsamında değerlendirilir.