Matrislerde çarpma işlemi

Etiketler : lineer cebir matematik matris

Matrislerde çapma işlemi yaparken, ilk matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı birbirine eşit olmalıdır. Çarpılacak iki matrisin sütun ve satır sayılarına dikkat ederek, çarpma işlemi sonucu oluşacak yeni matrisin elemanlarını hesaplamak için satır ve sütun elemanlarını çarparız, ardından sonuç matrisine bu çarpımları toplayarak yeni matrisi oluştururuz. Sonuç matrisinin boyutları, ilk matrisin satır sayısı ve ikinci matrisin sütun sayısı olacaktır.

İki matrisin çarpımı, yeni bir matris oluşturularak yapılır. Yeni matrisin her bir elemanı, ilk matrisin ilgili satırıyla ikinci matrisin ilgili sütununun elemanlarının çarpımının toplamıdır. Örneğin, A matrisi (m x n) boyutlu ve B matrisi (n x p) boyutlu ise, A ile B matrisi arasında çarpma işlemi tanımlanır ve bu çarpım sonucu elde edilen C matrisi (m x p) boyutlu yeni bir matris olacaktır. Son matrisin elemanları, bu oluşan toplam değerlere göre tek tek hesaplanır.

Matris çarpımı, iki matrisin içindeki elemanları uygun şekilde çarparak yeni bir matris oluşturma işlemidir. Örneğin, 2x3 boyutunda bir matris ile 3x2 boyutunda bir matrisi çarptığımızda, sonuç olarak 2x2 boyutunda bir matris elde edilir. 

Örneğin 2x3 boyutlu bir matris, A = [1 2 3; 4 5 6] oldun ve çarpımın tanımlı olması için 3x2 boyutlu bir matris B = [2 0; 1 3; 2 1] şeklinde iki farklı matris verilsin. Bu durumda yukarıdaki açıklamaya göre A*B matris çarpımı şu şekilde yapılır: A matrisinin 1. Satırdaki her bir elemanı B matrisinin 1. Sütunundaki aynı konuma gelen elemanlarla tek tek çarpılır ve bu sonuçlar toplanıp aynı konuma yazılır. Bu işlem tüm bileşenleriçin tek tek aynen yapılır. [1*2+2*1+3*2 1*0+2*3+3*1; 4*2+5*1+6*2 4*0+5*3+6*1] = [10 5; 20 18]. Bu çarpım işlemi sonucunda 2x2'lik bir matris elde edilir. 

 

Aşağıda farklı matrisler için çarpım örnekleri verilmiştir, inceleyiniz.

 

Matrislerde çarpma işleminin bazı önemli özellikleri şunlardır:

1. Matris çarpımı, kesinlikle boyut uyumu yeterliliği gerektirir. (A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır). A matrisi mxn boyutlu bir matris ise B matrisi kesinlikle n satırdan oluşan  nxk şeklinde bir matris olmalıdır. Buna göre A.B matrisi (mxn) ve (nxk) boyutlarından çarpım matrisi (mxk) boyutlu bir matris olur.

2.Matris çarpımı genellikle değiştirilebilir değildir, yani bu matrisler birbirinden farklı ise  AB çarpım matrisi sonucu BA matris çarpımına eşit olmaz.(A.B≠B.A)

3. Matris çarpımı birleşme özelliğini sağlar. Yani üç farklı matrisin çarpım sonucu ayrı ayrı gruplandırılarak bulunabilir. A.(B.C) = (A.B).C şeklinde gruplandırmaya bağlı olarak aynı sonucu verir.

4. Matris çarpımı, toplama işlemi üzerine dağılabilirdir, yani matrislerde toplama işlemi üzerine çarpım işlemi yapıldığında sonuç dağılma yoluyla bulunabilir.  (A+B).C = A.C + B.C şeklinde ifade edilebilir.

5. Bir matrisi bir reel sayı ile çarpma işlemine skalerle çarpım denir. Skalerle çarpma özelliğinde yani k skaleri ile bir matrisle çarpıldığında sonuç k.(AB) = (k.A).B'yi verir. Skalerle çarpım işleminde matrisin bütün elemanları o reel sayı ile tek tek çarpılarak, bulunan sonuçlar aynı konuma tekrar yazılır.

6. Birim matrisle (etkisiz eleman) çarpma, girdi matrisini değiştirmez (A*I = I*A = A). Birim matrisin kuvveti alınsa dahi yine kendisi oluşur.

7.Matrislerde çarpma işleminde, sıfır matrisi vardır: A*0=0 

8. Skalerle çarpım işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. İki farklı skalerle bir matris çarpıldığı zaman skalerin kendi içinde birleşme özelliği vardır.

 

"0" sıfır skaleri ile çarpım yapıldığında sıfır matrisi oluşur. 1 skaleri ile çarpıldığında matrisin kendisi oluşur, yani 1 matrislerde çarpma işlemine göre etkisiz elemandır. 

9. Matris çarpımı genellikle toplama işlemine göre önceliklidir (A*B + C ≠ A*(B + C)).

10. Bir matrisin tersi olan bir matris  ile kendisi çarpıldığında birim matrisi verir.

11. Bir matrisin başka bir matrisle çarpımının transpozesi, o matrislerin transpozelerinin çarpımında sıraları yer değiştirir.

Burada verilen özellikler matris çarpımının temel matematiksel özelliklerinden bazılarıdır.