Kürenin Alan ve Hacim Bağıntıları ve İspatları

Etiketler : alan formülleri geometri ispat katı cisimler küre matematik teorem ispatları

Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.Bir küre merkezinden belli bir uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür. Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir.  Elektriğin kullanıma girmesine 2100 yıl, penisilinin icadına 2150 yıl, bilgisayar haberleşme ağlarının yayılmasına ise yaklaşık 2200 yıl vardır. Roma-Kartaca savaşları hala sürmektedir. Nitekim bu savaşlarda taraf tutmak zorunda olan Sicilya krallığı ölümcül bir yanlış yapıp Kartaca’nın tarafını tutar. Roma donanmasının uzun süren kuşatmasından sonra Sicilya düşer ve o karışıklıkta bir asker Arşimet’i öldürür. Vasiyeti üzerine mezar taşına silindir içine sokulmuş bir küre çizilir. Çünkü Arşimet’in en çok gurur duyduğunu söylediği gelişmesi budur; bir kürenin hacminin, içine tam olarak sığacağı silindirin hacmine oran. 

 Bu oranı Arşimet üçte iki olarak bulur ve silindirin hacmi bilindiği için kürenin Hacmi tam olarak hesaplanmış olur. Arşimet’in mezarı daha sonra kaybolur. Yaklaşık üçyüz yıl kadar sonra Sicilya’da konsil yardımcılığı görevi sırasında Çiçero üzerinde bir silindir ve küre şekli bulunan bir mezar taşı bulur ... Bugün bu mezar taşı yine kayıp. Meraklı bir turistin Arşimet’in mezarından bir hatıra almak isteyip işin biraz aşırısına kaçtığı sanılıyor. Arşimet’in bunca gurur ve coşku duyduğu bu hacim hesabi gıpta edilecek sadeliktedir ve mutlaka çağdaşlarına “ben niye akil edemedim?” dedirtmiştir. Bu konunun matematiksel içeriği dışında bizi ilgilendiren bir başka yönü de bu hesapları içeren Arşimet’in Metotlar adli eserinin iki bin yıl ortadan kaybolduktan sonra bu yüzyılın başında İstanbul’da ortaya çıkmasıdır. (Sinan Sertöz-Arşimet Küreleri-Bilkent Üniversitesi)

 

Kürenin hacmi bulunurken kürenin yarıçapının tam olarak bilinmesi gerekir. Bunun için küreyi oluşturan en büyük çemberinin yarıçapının verilmesi gerekir.

İki kürenin hacimlerinin oranı, yarıçaplarının küpleri oranına; alanlarının oranı da yarıçaplarının kareleri oranına eşittir.Kürenin bir çapından geçen iki farklı yarım düzlemin arasında kalan parçasına küre dilimi denir. Küre diliminin hacmi bulunurken tüm kürenin hacmi bulunduktan sonra daire diliminin merkez açısı kadar oran orantı yardımıyla, dilimin hacmi bulunur.

Bir küre yüzeyinin iki paralel düzlemle kesilmesiyle düzlemler arasında kalan yüzeye küre kuşağı adı verilir. Küre kuşağında paralel iki düzlem arasında kalan dik uzaklığa küre kuşağının yüksekliği denir. Küre kuşağının yüzey alanı küre yarıçapı R ise kürenin en büyük çemberinin çevresi ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. Yüzey alanı:2.π.R.h formülü ile bulunur.

Bir küre yüzeyinin bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen yüzeye küre kapağı adı verilir.Küre kapağının yüzey alanı küre yarıçapı R ise kürenin en büyük çemberinin çevresi ile küre kapağının yüksekliğinin çarpımına eşittir. Yüzey alanı:2.π.R.h formülü ile bulunur.

Küre kapağının hacmi hesaplanırken küre kapağının yüksekliği bulunduktan sonra, kürenin yarıçapı ile küre kapağının hacim formülü kullanılarak hacim hesaplanır.

Küre parçasının hacminin bulunmasına bir örnek vermek gerekirse; yukarıdaki formül kullanılarak hacim hesabı aşağıdaki gibi yapılır.

Bir daire  diliminin kendi eksenini kesmeyen bir çap etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisme küre kesmesi adı verilir. 

Küre kesmesinin hacmi taban alanı bilindiğinde yükseklik de verilirse (veya bulunabilirse) yukarıda ispatı verilen formül kullanılarak hacim hesabı yapılır.