Pisagor teoeremine yeni bir ispat

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir bağıntıdır. Pisagor teoreminde, hipotenüsün (dik üçgenin en uzun kenarı) uzunluğunun karesinin, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olduğu belirtilir. Bu teorem, antik Yunan filozofu Pisagor'un adı ile literatürde yer almıştır. Teoremin çok çeşitli ispatları yapılmıştır. Daha önceki yazılarımızda konu ile ilgili ayrıntılı bilgiler verilmiştir.  (Bkz. Pisagor teoremi ispatı) Bu yazıda, Amerika'daki iki genç yetenekten (Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson) süzülen farklı bir bakış açısı sunulmuştur.

 

Günümüzde bu teoreme yeni bir ispat metodu olarak; trigonometik yoldan ispatlama çalışması yapılmış ve bu yeni ispat matematik literatürüne kazandırılmıştır. New Orleans'taki St. Mary's Akademisi'nde son sınıf öğrencisi olan Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, okulda düzenlenen bir matematik yarışmasında Pisagor'un ispatı için yeni bir kanıt buldular. Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, Amerikan Matematik Derneği'nin bir toplantısında, buldukları bu ispatı, Pisagor Teoremi'nin yeni bir trigonometrik ispatı olarak jüriye sundular. Pisagor teoreminin trigonometrik ispatlarının bir zamanlar imkansız olduğu düşünülmesine rağmen, iki azimli lise öğrencisi tarafından bunun mümkün olduğu bir makale ile gösterilmiştir. 

Tanjant Teoremi ve İspatı

Bir ABC üçgeninde iç açılar; A, B, ve C olmak üzere bunlardan B ve C açıları ve bunlara ait kenar uzunlukları verildiğinde b>c olmak üzere kenar uzunlukları ve açılar arasında taanjant teoremi uygulanır. Buna göre kenarların farkının kenarların toplamına oranı, bu kenarların ait olduğu açıların farkının yarısının tanjant değeri ile bu açıların toplamlarının yarısının tanjant değerine bölümü aynı oranı verir. 

Teoremin ispatı yapılırken çemberde açıların özelliklerinden yararlanılabilir. Buna göre bir ABC üçgeni için A köşesini merkez kabul eden [AB] kenarını da yarıçap kabul eden bir çember çizilir. Buna göre uygun açılardan yararlanılarak teorem ispatlanır. (Bknz: Çemberde Açılar)

Cosinüs teoremi ispatı

Kosinüs Teoremi, üçgenlerde kenar uzunlukları ile açıların arasındaki ilişkiyi veren bir teoremdir. Bir üçgende eğer iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi kullanılır. Üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa,herhangi iki kenar arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teoreminin tersine çevrilmiş hali kullanılır. Dik üçgenlerde kosinüs teoreminin özel hali olan pisagor teoremi kullanılır.

Dairenin alanı ve ispatı

Dairenin alanı; pi sayısı ile dairenin yarıçapının karesinin çarpımı ile bulunur. Dairenin alanını bulabilmek için, bir düzgün çokgenin düzenli olarak kenar sayısı arttırılır. Kenar sayısı ne kadar fazla olursa düzgün çokgen o kadar çembere benzer. Dolayısıyla n kenarlı (sonsuz kenarlı) çokgenin alanı hesaplandığında, meydana gelen dairenin de alanı bulunmuş olur. 

Bir daire esasında daire dilimlerinin toplamından meydana gelmiştir. Bu daire dilimleri, yan yana hiç boşluk kalmayacak şekilde sıralandığında, bir dikdörtgen meydana gelir. Ortaya çıkan bu dikdörtgenin alanı hesaplandığında dairenin alanına ulaşılır. 

Dairenin alan hesabı için, yukarıda anlatılan özellikle ilgili olarak hazırlanmış animasyonu, aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz. (Daire Alanı-Youtube)

Yukarıdaki örnek matematiksel olarak ifade edilirse; Bir düzgün çokgende kenar sayısını ne kadar arttırırsak, o çokgen o kadar çembere benzer. Yani çokgenin kenar sayısını sonsuza yaklaştırdığımızda, çokgen (limit değeri) artık çembere dönüşmüş olur. Bu şekilde dairenin alanı hesaplanırken, limit yaklaşımından yararlanılır. (Bkz. sinx/x limiti)

Daire alanındaki mantıkla, benzer şekilde silindirin hacmine de ulaşılır. Yani bir silindir taban dairesi baz alınarak, çok sayıda silindir dilimine ayrıldığında, bu dilimler boşluk kalmayacak şekilde dizilirse ortaya bir dikdörtgen çıkar. Silindirdeki dilim sayısı sonsuz olduğunda, silindirin toplam hacmi, ortaya çıkan dikdörtgenin alanına eşit olacaktır. Konu ile ilgili hazırlanmış silindir hacim materyalini inceleyebilirsiniz.  (Bkz. Silindirin Hacmi Materyali) 

Yarıçapı, r olan dairenin alanı, integral yardımıyla da hesaplanabilir. Bunun için 4 tane eş daire dilimlerinden birinin alanı integralle hesaplandıktan sonra, çeyrek daire diliminin alanı bulunur.  Bulunan bu sonuç, 4 ile çarpılarak tüm dairenin alanı hesaplanmış olur. İntegral hesabında açısal (kutupsal) dönüşüm uygulanır.

Daire diliminin alanı bulunurken, dilimin gördüğü merkez açının ölçüsü bilinmelidir. (Bkz. Çemberde Açılar) Bunun için ya merkez açının ölçüsü verilmeli ya da bu daire dilimini çevreleyen yayın uzunluğu bilinmelidir. Buna göre, oran-orantı yardımıyla daire diliminin alanı hesaplanır.

Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar.  (Bkz: Paralelkenar Özellikleri)

Paralelkenar Özellikleri

Paralelkenar, karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir. 

Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği hakkında detaylı açıklama ve geometrik yorumu için aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

(Bkz. Üçgen eşitsizliği)

Üçgen Eşitsizliğinin Cebirsel İspatı:

Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu mutlak değer ve eşitsizlik kavramları ile birlikte: 

||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y| 

şeklinde ifade edilir ve mutlak değer teoremleri ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği yardımıyla ispatlanır. 

Aşağıda verilen teoremler, alt alta sırayla incelendiğinde, bütün bu teoremlerin birlikte sonucu olarak cebirsel üçgen eşitsizliğine ulaşılır. 

Üçgen eşitsizliği ve ispatı

 

Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği, üçgenin bütün kenarları için ayrı ayrı uygulanmak zorundadır.

Üçgenin bütün kenarları, üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır. Eğer üçgenin herhangi bir kenarı üçgen eşitsizliğini sağlamazsa bu üçgen çizilemez. Üçgende kenar bağıntıları ile ilgili ayrıntılı yazımızı okumak için bağlantıya tıklayabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2021/03/ucgende-kenar-bagintilari.html

ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ GEOMETRİK İSPATI: Geometrik ispatını yapabilmek için herhangi bir ABC üçgeni çizelim. Bu üçgenin herhangi bir kenar uzunluğunun diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük olduğunu göstermeliyiz. Bunun için her hangi bir kenarını örneğin a kenarını alalım. a<b+c olduğunu gösterebilirsek aynı işlemi diğer kenar uzunlukları içind uygulayabiliriz. Bu nedenle ABC üçgeninde c kenarına eşit olacak biçimde b kenarı doğrultusunda yeni bir c kenarı çizelim. Yani b kenarını c br kadar uzatalım. Yeni bir üçgen DBC üçgeni meydana gelir. 

Çizilen DBC üçgeninde, |BC|=a ve |DC|=b+c olur. a kenarını D açısı görürken b+c kenarını da B açısı görmektedir. Buna göre kenar uzunluklarını karşılaştırmak için B ve D açılarını karşılaştırmak yeterli olacaktır. ADB üçgeni ikizkenar üçgendir. Buna göre taban açıları birbirine eşittir. Aşağıdaki şekilde bu ikiz olan açılar, m(CDB)=m(DBA)=x olarak işaretlenmiştir. m(ABC)= y olsun. Buna göre üçgende açılar yardımıyla, BAC açısı, m(BAC)=2x ve DBC açısı da m(DBC)=x+y ölçüsüne sahip olur. Dolayısıyla,m(DBA)<m(DBC) veya m(CDB)<m(DBC) olur.

Bir üçgende, daima büyük açı karşısında büyük kenar olacağından, DBC açısının karşısındaki kenar uzunluğu, CDB açısının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyük olacaktır. Buna göre a<b+c eşitsizliği doğrulanmış olur. Aynı şekilde diğer kenarlar da uzatılarak eşitsizlik bütün kenarlar için doğrulanmış olur. Aşağıda üçgenin bütün kenarları için üçgen eşitsizliği çizilerek gösterilmiştir.

**Geniş açılı bir üçgende en uzun kenar geniş açının karşısındaki kenardır. Dik üçgendeki pisagor bağıntısı bu geniş açılı üçgende uygulandığı zaman, üçgen eşitsizliği ile birlikte pisagor bağıntıs kuralı da yazılır. Yani geniş açılı üçgende, geniş açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha büyük olur. Buna mukabil dar açılı bir üçgende de, dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha küçük olur. 

**Dar ve geniş açılı üçgenlerde üçgen eşitsizliği yazıldıktan sonra, bazı durumlarda cosinüs teoremi de yazılarak uzunluğu bilinmeyen bir kenarın en küçük veya en büyük değerin bulunması sağlanabilir. 

**Bazı üçgenlerde üçgenin bir açısı, dar veya geniş açılı olarak verilmeyebilir. Bu durumda üçgen eşitsizliği uygulandıktan sonra, bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak için, üçgenin yardımcı elemanları kullanılarak açının dar veya geniş açılı olma durumu tepit edilir buna göre pisagor bağıntısından yararlanarak kenar eşitsizliği yazılır. Özellikle ikizkenar üçgenlerde ikiz kenarlara ait bir dış açının geniş açılı olduğu unutulmamalıdır.

Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu ve ispatı ile ilgili olarak, aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2021/03/ucgen-esitsizligi-cebirsel-ispat.html

Sinüs teoremi ve ispatı

Sinüs teoremi, bir üçgende (kirişler üçgeni) bir kenar ve bu kenar karşısındaki açının sinüsleri oranı sabittir. Bir açının sinüsü trigonometri bilgisinden hatırlanacağı üzere, dik açılı üçgenlerde dik olmayan bir açının karşısında kalan dik kenar ile hipotenüsün (dik açının karşısında kalan kenarın) birbirine oranıdır. Kısaca açının sinüsü, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüse oranıdır. Sinüs teoremi, bir açı ve iki kenar verildiğinde; bilinmeyen bir açıyı bulmak veya iki açı ve bir kenar verildiğinde de bilinmeyen bir kenar uzunluğunu bulmak için oldukça yararlı bir teoremdir.

Eşkenar üçgen ve özellikleri

Üç kenar uzunluğu ve bütün iç açıları ölçüleri, birbirine eşit olan üçgene; eşkenar üçgen adı verilir. Eşkenar üçgende, tüm iç açıları ölçüleri: 60 derecedir. Tüm dış açıların ölçüleri ise 120 derecedir.

ikizkenar üçgen ve özellikleri

İki kenarı ve bunlara ait iki iç açıları eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgeni daha iyi anlamak için küçük bir etkinlik yapalım. Bir Dikdörtgen kağıt parçası alalım ve tam ortasından ikiye katlayalım. Üst katlanmış köşeden alt kenara bir çizgi çizip karşı köşelerini bu çizgi doğrultusunda katlayalım. Kağıdı açtığımızda bir üçgen şekli görebiliriz. 

Üçgenin köşelerini O, D ve C olarak işaretleyelim. Şimdi burada [OD] ve [OC] uzunluklarını cetvelle ölçelim. Bu etkinliği farklı ölçülere sahip çeşitli dikdörtgenler üzerinde de aynı şekilde deneyebilirsiniz. Her seferinde [OD] ve [OC] uzunluklarının eşit uzunlukta olduğunu görebiliriz. İki kenarı eşit olan bu tür üçgenlere ikizkenar üçgen denir .

Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği, bazı matematik kitaplarında sadece Schwarz eşitsizliği veya sadece Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak da geçmektedir. Matematik bilimi teorisinde önemli bir eşitsizlik olup, çeşitli matematiksel uygulamalarda kullanılmaktadır. Cauchy-Schwarz eşitsizliği; analiz, lineer cebir, olasılık ve istatistik konuları  arasında sıklıkla kullanılmaktadır. Özellikle vektörler alanında, sonsuz seriler ve çarpım uygulamalarında, varyans ve kovaryans hesaplamalarında eşitsizlik çok kullanılmaktadır. Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821'de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Yakovlevich Bunyakovsky tarafından 1850'de ve sonra tekrar olarak Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888'de ortaya atılmıştır. Bu nedenle eşitsizlik üç ismin adıyla matematik kitaplarda yer almıştır.

Stewart Teoremi ve ispatı

Herhangi bir üçgende, üçgenin bir köşesinden karşı kenara çizilen bir doğru parçasının uzunluğu, üçgenin diğer kenarları ve doğru parçasının karşı kenarda ayırdığı parçalar arasında bir bağıntı vardır. Bu bağıntı esasında, iki farklı üçgende ortak açı kullanılarak, cosinüs teoremi uygulanmasından ibaret olup, verilen üçgenlerden birinden ortak açının cosinüs değeri üçgenin kenarları cinsinden ifade edildikten sonra diğer üçgende ortak açının cosinüs değerine bulunan bu eşitlik yazılır. Daha sonra düzenlemeler yapıldıktan sonra Stewart bağıntısı elde edilir. 

Nesbitt Eşitsizliği ve ispatı

Nesbitt, tarafından 1903'te Educational Times isimli dergiye bir geometrik eşitsizlik olarak gönderilmiştir. (A. M. Nesbitt, Problem 15114, Educational Times, 3 (1903), 37-38) Aslında eşitsizliğin bir kısmı herhangi üç a,b,c pozitif gerçel sayısı için de doğrudur.

Nesbitt Eşitsizliği; üçgenler üzerinde uygulanırsa, üçgenin dış merkezleri ve alanları kullanılarak bunların arasındaki ilişki yazıldığında eşitsizliğin bir uygulaması gösterilmiş olur. Eşkenar üçgende geçerli olan bu eşitsizliğin yükseklik ve yarıçaplar arasındaki oranlamanın bir sonucu olduğunu gözlemleyebiliriz.

Nesbitt Eşitsizliği, Cauch Schwartz Eşitsizliği'nin bir sonucu bir eşitsizlik de diyebiliriz. Cauch Schwartz Eşitsizliği hakkında daha detaylı bilgilere ulaşmak için bağlantıyı tıklayabilirsiniz.  Aşağıda Nesbitt Eşitsizliğinin Cauch Schwartz Eşitsizliği ile nasıl ispatlandığı verilmiştir. (Bk.Olimpiyatlara Hazırlık Cauchy – Schwarz eşitsizliği problemleri ve çözümleri, Lokman Gökçe) (Bkz. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği)

Tümevarım İspat Yöntemi ve Örnekleri

Matematiğin en temel ve en önemli işlerinden biri, teoremleri ispatlamaktır. Varlık bildiren teoremler hariç, bir teoremin doğru olduğunu gösteren tek bir örnek vermek hatta örnekler göstermek bir teoremin ispatı için yeterli değildir. Çünkü teorem, verilen bu örnek veya örnekler için doğrulandığı halde başka bir örnek veya örnekler için doğrulanmayabilir. Bu nedenle verilen bir hükmün doğruluğu matematikte kesin olarak gösterilmek durumundadır. Bu uygun akıl yürütme etkinliklerine de ispat denir. Tümevarım yöntemi de ispat yöntemlerinden bir tanesidir. Tümevarım yöntemi genellikle domino taşlarına benzetilerek akılda somut hale getirilebilir. Bildiğimiz üzere, ilk domino taşı istenilen yönde itildiği zaman, diğer domino taşları da sırasıyla düşmektedir. Bütün domino taşlarının düştüğünden emin olmak için iki temel önermeyi bilmemiz yeterlidir: 1) İlk domino taşı düşer. 2)Herhangi bir domino taşı düştüğünde onun ardışığı olan domino taşı da düşmelidir. İşte; matematiksel tümevarım ilkesinin temeli, bu iki temel önermeyi içine alan domino taşlarının düşmesi durumuna benzetilmektedir.

Matematiksel olarak tümevarım ilkesi şu şekilde özetlenebilir. Her n pozitif tamsayısı için herhangi bir P(n) önermesi verildiğinde; bu önermede P(1) doğru ve bir k pozitif tamsayısı için P(k) doğru ise P(k + 1) de doğrudur. O zaman her n pozitif tamsayısı için P(n) doğru olur. Bu ispat yöntemine, matematiksel tümevarım ilkesi denir. 

ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik önermesi mantık kuralları gereği 1⇒0 durumunda kesin olarak yanlış olacağı için; P(k)⇒P(k+1) bileşik önermesinin doğru olduğunu göstermek için; P(k) önermesi doğru varsayıldığında (kabul edildiğinde) , P(k + 1) önermesinin de matematiksel olarak doğru olduğunu göstermemiz gerek ve yeter şarttır. Tümevarım yöntemiyle ispat yaparken, bu basamağa dikkat edilmesi gerekir. Matematiksel tümevarım ilkesinin yukarıda sayılan üç basamaktan  birincisi olan i) basamağına temel basamak, ikincisi olan (ii) basamağına ise tümevarım basamağı denir. Yukarıda gösterilmiş olan tümevarım ilkesinde (ii). adımdaki, P(k)⇒P(k + 1) koşullu önermesini ispatlamak için genellikle doğrudan ispat yöntemleri kullanılır.
Tümevarım bir ispat yöntemi olarak, önceki yüzyıllarda matematik dünyasını ciddi manada meşgul etmiş olmasına rağmen sonraki yüzyıllardaki matematikçiler ve felsefeciler tarafından eleştirilere de maruz kalmıştır. Bir matematikçi olan B. Russell tümevarım yönteminin acizliğini Hristiyan dünyasına şöyle bir misalle aktarmıştır.“…Mantıklı bir hindi çiftliğe varır varmaz her sabah saat 9′da yem verildiğini fark etti. Ama iyi bir tümevarımcı olduğu için hemen bir sonuca varmak istemedi. Bekledi ve her gün tekrar tekrar gözlemledi. Bu gözlemlerini değişik koşullarda tekrar etti: Çarşambaları, perşembeleri, sıcak ve soğuk günler, yağmurlu ve yağmursuz günler. Her gün yeni bir gözlem ekledi ve sonunda bir sonuç çıkardı: “Her sabah saat 9′da yemek veriliyor bana”. Fakat bir yılbaşı günü kural bozuldu: Mantıklı hindi saat 9′da yemini beklerken boynu kesildi...”
Matematikçi ve epistemolog Bertrand Russell‘ın bu örneği bize tümevarım yönteminin zayıflığını ispat etmeye yetecek bir örnektir. Yukarıda verdiğimiz domino taşı örneğinde domino taşlarının her zaman ve durumda ardışık olarak yıkılmasını gerektirecek bir olay ortaya çıkmış olmayabilir. Bu örneğin oluşabilmesi için hiçbir tesir ve etkinin olmadığı herşeyin aynı şekilde devam edeceği bir his ile bu ispatlamalarını yapıldığı tezi vardır ki bu özellikle sosyal bilimler için kesinlikle yanlış bir tez olur. İçinde yaşadığımız dünyada gelecek olayların hep bir sebep sonuç çizgisi içinde anılması ve bu şekilde hayatımızın irdelenmesi aslında yetersiz bir anlayışın ürünüdür. Geçmişte yaşanmış sebepler ve olmuş şeylere bakarak gelecekteki olacak olan olayları kestirmeye çalışmak her zaman doğru sonuçlar vermeyebilir. Tümevarım yöntemi bu şekilde işlediğinden son dönemlerde daha tutarlı sonuçlar veren farklı ispat yöntemlerinin de kullanılmaya başlandığı pratikte ve teoride ortaya çıkmıştır. Burada tümevarım yöntemiyle ispat edilebilen bazı matematiksel önermeleri göstermeye çalışalım.

Bazı Ardışık Toplam Formülleri

Bilinen hikayeye göre Alman matematikçi Gauss'un, 1 den başlayarak herhangi bir sayıya kadar olan ardışık sayıların toplamı şeklinde (1+2+3+4+5.....100 gibi) yazılan ifadeyi formüle etmesiyle birlikte diğer ardışık toplamların da aynı şekilde formüle edilebileceği gözlemlenmiş ve matematikçiler tarafından bu kavramlara kafa yorulmuştur. Tümevarım ispat yönteminin geliştirilmesiyle birlikte ardışık olarak gelen terimler arasındaki toplam formülleri daha net olarak gözlemlenmiştir. Daha kolay hesaplama yapmak için formüller bazen çok elzem olabilmekte lakin bütün bu formüllerin ezberlenerek zihnimizi doldurmaya çabalamasına da izin vermemiz bizden beklenen bir davranıştır. Matematiksel alt yapısını bilmeden kuru bir ezber iyi bir matematik çalışma stratejisine uygun olmayacaktır. Burada paylaştığımız tüm formüller tümevarım yöntemi ile ispat edilerek ortaya rahatlıkla çıkarılabilir. Tümevarım yöntemi matematik gibi ilimlerde doğruluğunu gösterse de diğer ilim dallarında tutarlı sonuçlar vermekten maalesef uzak kalmıştır. (Bkz. Tümevarım ispat yöntemi)

Aşağıda işlemlerde zamandan kazanmak maksadıyla kullanılmak için bazı ardışık toplam formülleri verilmiştir. Bu formüller kullanım sıklıklarına göre sıralanmıştır. 

Burada yer alan formüllerin ispatları için Tümevarım ispatları yazımıza bakabilirsiniz.

İçteğet Çemberi Çizilen Üçgenin alanı

Bir üçgenin iç açıortayların kesim noktası, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçap uzunluğu (r) ve üçgenin çevre uzunluğunun yarısı (u) biliniyorsa, üçgenin alanı hesaplanabilir. Bu üçgenin alanı, Alan=u.r olur.

Yamukta Özellikler ve İspatları

En az iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. ABCD yamuğunda, [AB] // [CD]’dır. Yamukta karşılıklı köşelerde yer alan açıların ölçüleri toplamı 180 derece olur.

m(A) +m(D) = 180º, m(B) + m(C) = 180º’dir. 

Yamuğun paralel olan kenarları yamuğun tabanlarıdır. Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. İkizkenar yamukta taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir. İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir.  Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir. Yamukta paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına "orta taban" denir.

Dörtgende Alan Bağıntıları

Herhangi bir dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları ile köşegenlerin arasında yer alan açının sinüsünün çarpımının yarısı ile hesaplanır.  Burada özel olarak açı 90 derece olarak alınırsa yani köşegenler birbiriyle dik kesişirse o zaman dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımının yarısı kadar olur.

Dörtgende Uzunluk Teoremleri ve İspatı

Bir dörtgende köşegenler birbirini dik olarak keser ise dörtgenin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı birbirine eşit olur. Bütün konveks dörtgenlerde bu genel özelliktir. Kuralın geçerli olması için köşegenlerin birbirini dik olarak kesmesi gerekir. Konkav dörtgende de aynı bağıntı geçerlidir. İspatı yapılırken dörtgenin iç bölgesinde oluşan üçgenlerde ayrı ayrı pisagor teoreminden yararlanılır.

** Bu şekildeki bir dörtgenin alanı da köşegenleri çarpımının yarısı kadardır. Köşegenler dik kesiştiği için Üçgende sinüs alan formülünden sin 90=1 olduğundan iki parça halinde üçgen toplamı olarak  verilen dörtgen düşünülürse; köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarsı olur.