Karenin Özellikleri

Etiketler : çokgenler dikdörtgen dörtgenler geometri ispat kare matematik

Kare, matematikteki en temel geometrik şekillerden birisidir. Pek çok yerde kullanımı mevcuttur. Özellikle seramik/fayans döşeme ve kaplamalarında, mobilya tasarımlarında sıklıkla kare tercih edilir. Kenar uzunlukları eşit olan dikdörtgene kare (murabba) denir. 

Kare, bir düzgün çokgen örneğidir.  Kare esasında özel bir dikdörtgen çeşididir. Aynı zamanda eşkenar dörtgendir. Eşkenar dörtgende ve dikdörtgende yer alan tüm özellikleri sağlar. Bütün iç ve dış açıları 90 derecedir. iç açıları ve dış açıları ölçüleri toplamı 360 derece olup tamamı 90 derecedir. Köşegenleri dikdörtgendeki gibi birbirine eşittir ve birbirini ortalar. Köşegenlerin kesim noktası, karenin ağırlık merkezi (denge noktası) olur.

Karenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Karede köşegenler, dikdörtgenden farklı olarak açıortaydır. Bu önermenin doğruluğu, eşlik bağıntıları kullanılarak gösterilir. Karede köşegenler açıortay olduğu için üçgenin iç açıları toplamından dolayı köşegenler, birbiriyle dik olarak kesişir. Yani karede köşegenler birbirini dik açıyla ortalar. 

TEOREM:Karenin köşegenleri ve iç açılarının açıortayları eşit uzunluktadır. (Teoremin ispatı eşlik teoremleri ile yapılacaktır) (Bkz. Eşlik Teoremleri)

Karede açı soruları çözülürken öncelikle karenin kenarları ile birlikte birbirine eşit olarak verilen kenarlar işaretlenir, bu şekilde gizlenmiş olan ikizkenar veya eşkenar üçgenler ortaya çıkmış olur. Buna bağlı olarak sorunun çözümü kolaylaşır.

Karede bazı açı sorularında, ilişkili görünmeyen bir uzunluk karenin bir köşegen uzunluğuna eşit olarak verilebilir.Bu durumda karenin diğer köşegeni çizilerek ikizkenar üçgen elde edilir.

Karede açılar 90 derece olduğundan, sorularda sıklıkla pisagor ve öklid bağıntıları kullanılır. Köşegenler birbirini ortaladığı için genellikle köşegen üzerinde bir dikme çizilerek, öklid veya pisagor bağıntısı oluşturulmaya çalışılır.

Karede bütün açılar 90 derece olduğu için, sıklıkla A.A.A benzerliği ile karşılaşılır. Karenin kenarları birbirine eşit olduğundan, kenarların dışından ek doğru parçaları uzatılarak yeni eş üçgenler çizilebilir. Sorularda benzerlik uygulamaları her zaman dikkate alınmalıdır. 

Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi ile hesaplanır. Köşegen uzunluğu biliniyorsa karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarsı olur.

Karenin alanı vektörel olarak ispatlanırken, vektörlerde iç çarpım özelliklerinden yararlanılır. Köşegenler birbirine eşit ve aralarındaki açı 90 derece olduğundan cos90=0 olduğundan iç çarpım tanımlanırken karenin birbirine dik olan kenarların taşıyıcı vektörlerinin iç çarpımı sıfır olur. Buna göre alan bağıntısı yazıldığında karenin alanı herhangi bir kenarının karesi olur. (Bkz. Vektörlerde İççarpım)

Bir şekil kendi merkezi etrafında döndürüldüğünde 360° den küçük açılı dönmelerde en az bir defa kendisi ile çakışıyorsa bu şekil dönme simetrisine sahiptir. Kare 90°, 180° ve 270° döndürüldüğünde yine kendisi ile çakıştığından dönme simetrisi vardır. Karenin simetri eksenleri, köşegenlerin taşıyıcı doğruları ve karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçalarının taşıyıcı doğruları olmak üzere dört tanedir. (Bkz. Geometrik Cisimlerin Simetrisi)