Perspektif Çizimi Temel Elemanları

İzdüşüm: Bir nesnenin bir düzlem üzerine düşürülen görüntüsüne izdüşüm denir. Perspektif izdüşüm: Cisimlerin görünüşünü iki boyutlu düzlem üzerinde, insan gözünün gördüğü gibi üç boyutlu olarak çizebilme olanağını sağlayan izdüşüm yöntemlerine perspektif izdüşüm denir.

 

Bakış Noktası: Perspektifi çizebilecek nesneye gönderilecek bakış ışınlarının kaynaklandığı sabit noktaya (gözlemcinin gözünün bulunduğu noktaya) bakış noktası denir. Bakış Uzaklığı:Bakış noktasının perspektifi çizilecek nesneye olan uzaklığına bakış uzaklığı denir.

Bakış Yüksekliği:Bakış noktasının, yer düzleminden olan yüksekliğine bakış yüksekliği denir. Bakış yüksekliği ufuk yüksekliği olup gözlemcinin boyuna bağlı olarak yukarı, aşağı yönde hareket eder.

İzdüşüm (Resim) Düzlemi: Üzerinde perspektif izdüşüm görüntüsünün resmedileceği düşey düzleme izdüşüm düzlemi denir.

Ufuk Çizgisi: Ufuk çizgisinin görünmediği mekânlarda nesneye bakan kişinin gözlerinden geçtiği farz edilen yatay düzlemle, düşey izdüşüm düzleminin kesişme çizgisine ufuk çizgisi denir.

Kaybolan Nokta (Kaçan Nokta veya Kaçış Noktası): Bakış noktasından (gözden) uzaklaşarak sonsuza doğru giden ve gerçekte birbirlerine paralel oldukları halde resim düzlemine paralel olmadıkları için birbirlerine yaklaşarak birleşiyormuş gibi görünen doğruların kesişme noktasına kaybolan nokta denir.

Yer Düzlemi (Yer Çizgisi): izdüşüm düzleminin yer ile meydana getirdiği arakesite yer düzlemi denir.

Bir Nokta Perspektifi: Tek bir nokta baz alınarak yapılan çizimdir. İki Nokta Perspektif çiziminde ise iki tane kaybolan nokta baz lınarak çizim yapılır. 

Aşağıda çizilmiş örnekleri inceleyiniz.

Ön ve Üst Yüz Görünen Cisim

Ön ve üst yüzü görünen dikdörtgenler prizmasının "bir nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

 Ön, Üst ve Sağ Yüzü Görünen Cisim

Ön, üst ve sağ yüzü görünen dikdörtgenler prizmasının "bir nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

 Ön, Alt ve Sol Yüzü Görünen Cisim

Ön, alt ve sol yüzü görünen dikdörtgenler prizmasının "bir nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

 Üst ve Yan Yüzleri Görünen Cisim

Üst ve yan yüzleri görünen dikdörtgenler prizmasının "iki nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

Alt ve Yan Yüzleri Görünen Cisim

Alt ve yan yüzleri görünen cisimlerin "iki nokta perspektif” çizimi açıklamaları ile birlikte yukarıdaki gibi çizilebilir.

Ön ve Üst Yüzleri Görünen Cisim

Ön yüz ve üst yüzleri görünen cisimlerin  perspektif çizimi yukarıdaki gibi çizilebilir. Bu çizimde; Birinci adımda; çizilmiş olan dikdörtgenler prizmasının üst yüzüne karşılık gelen dikdörtgenin (mavi) köşelerini bakış noktasıile birleştirdik.(mavi çizgiler). Birleştirdiğimiz çizgilerin izdüşüm düzlemini kestiği noktalarıA ve B olarak harflendirdik. Prizmanın ön yüzüne karşılık gelen dikdörtgenin (kırmızı renkli kısım) köşelerini C noktası ile birleştirdik (şekilde siyah çizgilerle gösterildi.) A ve B noktalarından yer düzlemine iki dikme inildi. Bu dikmelerin siyah çizgileri kesen noktalarını K, L, M, N ile harflendirdik. KLMN noktalarını birleştirdiğimiz zaman ortaya çıkan dörtgen perspektifi çizilmiş olan dörtgenin arka yüzüdür.

Gündelik Hayattan Örnek Perspektif Çizimi

Kaynak Çizimler için ayrıntılı olarak; Nevzat Asma-Halit Bıyık, Geometri Kitabı, Esen Yayınları, Tuna Baskı, Ankara, 2012 kitabına bakabilirsiniz.

Aşağıdaki soruları ve bağlantıları inceleyerek konu hakkında bilgilerinizi pekiştirebilirsiniz.

Perspektif çizimi çeşitlerini incelemek için aşağıdaki bağlantıya tıklayınız.

https://muallims.blogspot.com/2009/04/perspektif-cizimi.html

Daha ayrıntılı perspektif ve izdüşüm açıklaması için ve özellikle teknik resim bilgileri için, aşağıdaki bağlantıya tıklayabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2009/04/izdusumyer-elipsoidini-harita-duzlemi.html

Geometrik Cisimlerin simetrisi ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için bağlantıya tıklayabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2009/04/geometrik-cisimlerin-simetrisi.html

Koordinatları Verilen Noktanın Kuvveti

Koordinatları Verilen Noktanın Kuvveti:Herhangi bir noktaya göre çemberde kuvvet alınırken bu nokta çemberin iç veya dış bölgesinde olmasına göre kuvvet alma fonksiyonunda bir farklılık olmaz. Kuvvet alma aslında bu noktanın yardımıyla oluşturulan üçgenler ile meydana gelen bir benzerlik uygulamasıdır.  

Bir noktanın koordinatları ile herhangi bir çembere göre kuvveti alındığında, Kuvvet alma fonksiyonu noktanın çembere göre durumunu belirtir. Yani verilen noktanın,  çemberin iç bölgesinde, çemberin dışında veya çemberin üzerinde  olup olmadığı tanımlanır. 

X noktasının kuvveti denildiğinde, o noktanın merkeze olan uzaklığı koordinatlarda olduğu gibi iki nokta arası uzaklık formülünden bulunur. Daha sonra bu uzaklığın yarıçap ile olan farkları pisagor bağıntısı gereği yazıldıktan sonra, eğer sonuç pozitif tanımlı ise (yani sonuç pozitif çıkar ise) nokta çemberin dış bölgesinde olur. Çünkü  noktanın çember merkezine uzaklığı, çemberin yarıçapından büyüktür. Bu sonuç negatif tanımlı olursa, noktanın çember merkezine olan uzaklığı, çember yarıçapından küçük olduğundan, nokta çember içerisinde kalır. Eğer sonuç 0 çıkarsa o zaman verilen nokta, tam olarak çember üzerindedir. Çünkü noktanın merkeze uzaklığı ile yarıçap uzunluğu birbirine eşittir. 

Bir çemberde herhangi bir noktanın çember denklemine göre kuvveti, aşağıdaki özelliklere sahiptir.

Burada koordinatları verilen noktanın çembere göre kuvveti için gösterilen ispatı, daha iyi anlamak için bir örnek verelim. Örnekte rastgele bir noktanın çembere göre kuvveti alındığında, yani koordinatları çember denkleminde yerine yazıldığında, sonuç negatif çıkarsa bu noktanın çemberin iç bölgesinde olduğu anlaşılır. Aksi halde pozitif tanımlı olması durumunda, nokta çemberin dış bölgesindedir.

 

 

 

Kaynaklar: Geometri, Arif Şayakdokuyan, Mevsim Basım Yay., Ankara, 2012; Geometri, Turgut Erel, Bilnet Matbaacılık, İstanbul, 2014;  Çember ve Daire, Kartezyen Eğitim Yay. ,İstanbul, 2014.

Asal Sayılar ve Bölen Durumları

Matematik öğretmeni Mehmet Arslan Hocamızın kendi el yazısı ile oluşturduğu, asal sayı ve bölen sayıları için örnek problemlerin ve özelliklerin oluşturduğu karalamaları sizinle paylaşıyoruz.Güzel el yazısı ve kısa özeti için kendisine teşekkürü bir borç biliriz. Yazımız gayet okunaklı olduğu için ayrıca bir açıklamaya gerek duymadan bu şekliyle istifade etmenizi umuyoruz.

Bu At Sadece At Değil - Lao Tzu

"Bir zamanlar köyün birinde yaşlı, fakir bir adam varmış. Ama kral bile onu kıskanırmış... Öyle dillere destan beyaz bir atı varmış ki... İmparator at için ihtiyara neredeyse hazinesinin tamamını teklif etmiş, ama adam satmaya yanaşmamış. "Bu at, bir at değil benim için. Bir dost. İnsan dostunu satar mı" dermiş hep. Bir sabah kalkmışlar ki, at yok. Köylüler ihtiyarın başına toplanmış. "Bu atı çalacakları belliydi. Krala satsaydın ömrünün sonuna kadar beyler gibi yaşardın. Şimdi ne paran var ne de atın" demişler...  İhtiyar, 'Karar vermek için acele etmeyin' demiş. Sadece 'at kayıp' deyin. Gerçek bu. Ondan ötesi sizin yorumunuz ve verdiğiniz karar. Atımın kaybolması talihsizlik mi, şans mı, henüz bilmiyoruz. Çünkü bu olay henüz bir başlangıç. Arkasının nasıl geleceğini kimse bilemez."

Köylüler ihtiyara kahkahalarla gülmüşler. Ama aradan iki hafta geçmeden, at bir gece ansızın dönmüş... Meğer çalınmamış, dağlara gitmiş kendi başına. Dönerken de vadideki 12 vahşi atı peşine takıp getirmiş. Köylüler, ihtiyardan özür dilemişler. 'Sen haklı çıktın. Atının kaybolması bir talihsizlik değil, şans oldu senin için. Şimdi bir at sürün var.' 'Gene acele ediyorsunuz' demiş ihtiyar. 'Sadece atın geri döndüğünü söyleyin. Bilinen gerçek sadece bu. Ondan ötesinin ne getireceğini henüz bilmiyoruz. Bu daha başlangıç...Birinci cümlenin ilk kelimesini okur okumaz kitap hakkında nasıl fikir yürütebilirsiniz?.' demiş. Bir hafta geçmeden vahşi atları terbiye etmeye çalışan ihtiyarın tek oğlu attan düşmüş ve ayağını kırmış. Evin geçimini temin eden oğul şimdi uzun zaman yatakta kalacakmış. Köylüler gene gelmişler ihtiyara. 'Bir kez daha haklı çıktın' demişler. ‘Bu atlar yüzünden oğlun uzun süre yürüyemeyecek. Sana bakacak başkası da yok... Şimdi eskisinden daha fakir olacaksın.’

 

“Durun bakalım” demiş ihtiyar. 'Oğlum bacağını kırdı. Gerçek bu. Ötesi sizin verdiğiniz karar. Hayat böyle küçük parçalar halinde ilerler ve ondan sonra neler olacağı size asla bildirilmez.’Birkaç hafta sonra savaş çıkmış. Kral son bir ümitle eli silah tutan bütün gençleri askere çağırmış. İhtiyarın kırık bacaklı oğlu dışında bütün gençleri askere almışlar.’ Köylüler, gene ihtiyara gelmişler... ‘Gene haklı çıktın.’ demişler. “Oğlunun bacağı kırık, ama hiç değilse yanında. Oysa bizimkiler belki asla köye dönemeyecekler. Oğlunun bacağının kırılması talihsizlik değil, şansmış meğer...” 

İhtiyar: “Siz erken karar vermeye devam edin" demiş. Oysa bilinen bir tek gerçek var. Benim oğlum yanımda sizinkiler askerde. Ama bunların hangisinin talih, hangisinin talihsizlik olduğunu bilmiyoruz.”

Lao Tzu anlattığı öyküsünü şu nasihatla tamamlamış: 

'Acele karar vermeyin. O zaman sizin kimseden farkınız kalmaz. Hayatın küçük bir parçasına bakıp tamamı hakkında karar vermekten kaçının. Oysa yolculuk asla sona ermez. Bir yol biterken yenisi başlar. Bir kapı kapanırken bir başkası açılır.' 

>>>Hayatta olan hiçbir şey tek başına iyi veya kötü değildir. İnsan, olayları hemen yargılama alışkanlığıyla yanılır; zaman ve deneyim ise gerçek anlamı ortaya çıkarır. Kontrol edebileceğimizi sandığımız her şey aslında ilahi kaderin içinde süzülür; zorlama ve müdahaleler çoğu zaman bizi yanıltır. Bilgelik, her olayı olduğu gibi gözlemlemek, insanlar ve olaylar karşısında yargıyı ertelemektir. Sabır ve farkındalık, hayatın değişken ritmini kabullenmeyi, tecrübeyle öğrenmeyi mümkün kılar. Bu idrak, bizi hem gereksiz kaygılardan uzaklaştırır hem de eylemlerimizi bilinçli ve uyumlu bir hale dönüştürür. İyi ve kötü yalnızca görünüştedir, hakikat; zamanın içinde elbet açığa çıkar.

 

Bu hikayenin sonucunda geçen "bir kapı kapanırsa, bir kapı açılır" sözü, bana güzel bir dörtlük hatırlattı. Sürekli olarak okumaktan hoşlandığım, bütün sıkıntılarımın ardından herşeyi özetleyecek şekilde ruhumun derinliklerine dokunan, bu güzel sözleri sizinle paylaşarak yazıya noktayı koyalım. Meşhur müellif İbrahim Hakkı Hazretlerinin şiirinden bir bölümünü paylaşmak istiyorum:

 

 

 

Açılır bahtımız bir gün, hemen battıkça batmaz ya! Sebepler halk eder Hâlık, kerem bâbın kapatmaz ya! Benim  Hakka münâcâtım değildir rızık için hâşâ! Hüdâ Rezzâk-ı Âlemdir, rızıksız kul yaratmaz ya! (Erzurumlu İbrahim Hakkı)

 

Her şeyin sebeplerini yaratan Allah, bizim de bahtımızı bir gün açar, ikram ediciliğinin kapısını kapatmaz. Benim Allah'a yakarışım rızık için değildir. Çünkü bütün alemin rızkını veren Allah, rızıksız kul yaratmaz. Hayat inişli çıkışlıdır, sıkıntılar gelip geçer; Allah’ın rahmeti her zaman açıktır ve hiçbir kulunu sahipsiz bırakmaz. Dualarımız sadece rızık için değil, O’na yönelmenin ve güvenmenin ifadesidir; yeter ki teslim olalım ve sabredelim. Nasibimizde olan bizi eninde sonunda bulacaktır. 

نَصِيبُكَ يَصِيبُكَ وَلَوْ كَانَ تَحْتَ الْجَبَلِ، لَا نَصِيبَ لَكَ وَلَا يُصِيبُكَ وَلَوْ كَانَ فِي شَفَتَيْنِ

"Nasîbüke yusîbüke velev kâne tahte’l‑cebel Lâ nasîbeke ve lâ yusîbeke velev kâne fî şefeteyn." Kısmetin sana dağın altında bile olsan isabet eder; eğer nasibin yoksa iki dudağın arasında bile olsa sana ulaşmaz.

Ahmet Doğan, Neden, Hangi, Nasıl, Matematik?

Matematik öğretmeni Ahmet Doğan, kendi deneyimlerinden yola çıkarak, matematik öğretmenin ve öğrenmenin inceliklerini ve hazzını ele alıyor. Tüm öğretmenlerin el kitabı olabilecek bu eserin çerçevesini şöyle çiziyor Ahmet Doğan: “Branş öğretmeni olarak ortaokul ve lisede matematik öğretmenliğine başladığım zaman matematik öğretmenin zorluğunu daha yoğun yaşadım. Giderek soyutlama öne çıkıyordu. ‘Görüldüğü gibi…’ deme şansım iyice azalmış, buna karşılık ‘ne işime yarayacak?’ sorusu ile çok karşılaşır olmuştum. O aşamada yeni bir şey daha öğrendim; ‘programda yazılı olanı bilmek’ yetmiyordu.

‘Matematiğin ne olduğunu’ bilmeden sorunların üstesinden gelemezdim. Kendime sorduğum sorular art arda gelmeye başladı. Ne zamandan beri matematik öğreniliyordu? Neden öğrenilmeliydi? Hangi matematikler vardı ve hangileri öğretilmeliydi? Nasıl öğretilmeliydi? Öğrenenlerin öğrenme düzeyleri neden farklıydı? Farkı aza indirgemek için neler yapılmalıydı?.. Benzer sorular benim için hep gündemde kaldı. Bunların biriyle bile tek başıma baş edebilmem kolay değildi. Değildi, çünkü matematik yaşamın her alanında zor ama sevimli (hınzır mı demeliyim) yüzüyle karşımıza çıkıveriyordu. Bu hınzır güzellikle (ve de gereklilikle) ilgili sıraladığımız sorular tarih boyunca gündemdeydi. Ve sorulmaya devam edilecekti.”

Kitabın Künyesi Neden, Hangi, Nasıl, Matematik? (Öğretenler ve Öğrenenler İçin) Ahmet Doğan Bilim ve Gelecek / Eğitim Dizisi İstanbul, 2014 224 sayfa

Üçgenler Ünitesi Konu Başlıkları

Üçgenler ünitesinde yer alan aşağıdaki konu başlıkları ile ilgili olarak hazırlanmış konu anlatımı ve önemli teoremlerin ispatlarına, örnek soru çözümlerine ilgili bağlantının/yazının üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. 

Geometride temel kavramlar

**Açı Ölçü Birimleri

Doğruda Açılar ve Özellikleri

Doğruların birbirine göre durumları

Düzlemlerin Birbirine göre Durumu

Üçgende Açılar

Üçgende açı soruları ve çözümleri

Katlama soruları genel özellikleri

Üçgende Kenar Bağıntıları

Üçgen eşitsizliği ve ispatı

**Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Eşkenar üçgen ve özellikleri

Ders Anlatım Föyleri-Eşkenar Üçgen

ikizkenar üçgen ve özellikleri

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Ders Anlatım Föyleri-İkizkenar Üçgen

Açıortay ve Özellikleri

Üçgende Açıortay Dikmeleri

Açıortay Teoremleri ve İspatı

Üçgende açıortay soruları ve çözümleri

Kenarortay ve Özellikleri

Üçgende Ağırlık Merkezi İspatı

**Kenarortay Teoremi İspatı

Ders Anlatım Föyleri-Üçgende Kenarortay

Üçgenin Kenarorta Dikmeleri

Bir Üçgenin Yükseklikleri ve Kesim Noktası

Üçgenin İç ve Dış Merkezi

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Thales Teoremleri ve İspatı

Eş üçgenlerde Yardımcı Elemanlar

**Seva (Ceva) Teoremi ve İspatı

**Menelaus Teoreminin İspatı

**Karnot Teoremi ve İspatı

**Stewart Teoremi ve İspatı

**Steiner - Lehmus Teoremi

Sinüs teoremi ve ispatı

Dik Üçgen ve temel özellikleri

Açılarına göre özel dik üçgenler

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Öklid Teoremleri ve ispatı

Pisagor Teoremi ve sonuçları

**Pisagor Teoremi ve İspatı

**Pisagor Teoremi Vektörel İspatı

Ders Anlatım Föyleri-Dik Üçgen

Üçgende Alan Bağıntıları

Üçgenin Heron alan Bağıntısı ( U Formülü)

Üçgenin çevrel çember/sinüs alan formülü

İçteğet çemberi çizilen üçgenin alan formülü

Üçgenin Çevrel Çemberi ve alan hesabı

Koordinatları bilinen üçgenin alanı

(**) İşaretli olanlar Fen Liseleri, Yeterlilik Sınavları, Olimpiyat/Matematik yarışmaları ve matematik meraklısı her seviye ilim aşığı için hazırlanmış olup, biraz daha ileri matematik konularını ihtiva eden matematik müfredatının daha kapsamlı olduğu alanlar için önceliklidir. 

Konu ile ilgili olarak, ÜÇGENLER (Esen Yay) örnek fasikülünü de ayrıca inceleyebilirsiniz. İNDİRMEK İÇİN TIKLAYINIZ:::

Alfred Posamentier, Matematik Büyücüsü

"Bu kitap, yazarın, New York Times'ta matematiğin güzelliğini ve büyüleyiciliğini anlatmak adına yayınladığı bir makeleye gelen olağanüstü güzellikteki tepkilerden ilham alınarak ortaya çıktı. 'Matematiğin güzelliği ya da büyüleyiciliği mi olur?' diyenlerden ya da 'Matematiğin güzelliğini ve büyüleyiciliğini anlatmak mümkün mü?' diyenlerden olabilirsiniz. İkisini de demiyorsanız, bu kitabı okuduktan sonra safınızı daha kolay belirleyebilirsiniz! Matematik söz konusu olduğunda hepimiz kolaylıkla, 'Haa matematik mi, çok başarısızdım!' demekten imtina etmeyiz. Peki, bu cümlemizin matematikte başarısızlığından yakındığımız çocuğumuzu ciddi anlamda etkilediğinin farkında mıyız? Yani bir önyargı olduğundan ve matematik dışında bir konuda bu kadar kolay "başarısızım" diyemediğimizden söz ediyoruz... 

Matematik profesörü olan Posamentier, matematiği, hem öğrencilere hem de öğretmenlere canlı kılmak için ömürünü harcamış biri. Ve bu çalışması da, olağanüstü başarılarını kendi hayatımıza eklemek için şans! Okul hayatı boyunca matematikten sıkılanlar ve onun büyüleyiciliğinin farkında olanlar için yazılmış; sadece bizi büyülemesi için kitaplığımıza koyacağımız bir çalışma" 

Matematik Büyücüs, Alfred S. Posamentier,  Çevirmen Barış Akalın, Bilge Şipal, Güncel Yayıncılık, 2004, Sayfa Sayısı:303