Smith Sayısı (Wilansky)

Etiketler : algoritma matematik özel sayılar programlama sayılar

1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta bulunan  tüm asal çarpanların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu tür   sayılara Smith sayısı denir.

Örnek: ( 121 bir Smith sayısıdır. )

121  = 11 * 11          

1 + 2 + 1  =  1 + 1 + 1 + 1            

4 = 4     

Örnek: ( 166 bir Smith sayısıdır. )

166 = 2 * 83      

1 + 6 + 6  = 2 + 8 + 3               

13  = 13    

Bu sayılarla ilgili çıkmış bir üniversite sorusu bile vardır. 2005 yılında yapılan tek basamaklı sınav sisteminde ÖSS de bu şekilde tanımı verilerek hazırlanmış bir soru karşımıza çıkmaktadır. 

Lehigh Üniversitesi Matematik Bö-lümü’nde öğretim üyesi olan Albert Wilansky, 1982 yılında üvey kardeşi Herold Smith’i aramak için telefonun başına geçer ve numaraları çevirir: 4-9-3-7-7-7-7-5.  Bir yandan kardeşi ile konuşur­ken bir yandan da alışkanlığı nedeniyle telefon numarası 4937775′i asal çarpan­larına ayırmaya başlar. Konuşmalar ola­ğan seyrinde devam ederken bir anda Wilansky durgunlaşır ve kardeşinin söy­lediklerine tepki vermemeye başlar.  Sayı­yı çarpanlarına ayırdığı kağıtta gözü eşit­liğe takılmıştır:

4937775 = 3 x 5 x 5 x 65837. Eşitliğin her iki tarafındaki ra­kamları topladığında kalbi hızlı hızlı at­maya başlar ve gözlerine inanamaz: 4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42. Kardeşine hiçbir şey söylemeden bü­yük bir heyecanla telefonu kapatır ve ay­nı özellikte benzer sayılar aramaya baş­lar. Görür ki keşfettiği özelliğe sahip sonsuz tane sayı bulunmaktadır.  O gü­nün anısına Wilansky, rakamları toplamı asal çarpanlarının rakamlarının toplamı­na eşit olan sayılara “Smith Sayıları” adı­nı verir.

Her asal sayının sadece bir tane asal çarpanı olduğu için (o da sayının kendi­sidir) tüm asal sayılar aslında birer Smith Sayısı’dır. 10000′den küçük sayı­lara baktığımızda da 376 adet Smith Sa­yısı olduğunu görürüz: 

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111,1165……

Smith Sayıları’nın keşfinin ar­dından yapılan çalışmalarla bu sayılar arasında başka ilginç özelliklere sahip sayı grupları tanımlanmıştır. Örneğin sa­dece iki asal sayının çarpımı şeklinde ya­zılabilen Smith Sayıları’na “Yarı Asal Smith Sayıları” adı verilmiştir. 

121 sayısı bir yarı asal Smith Sayısı’dır. 121 = 11 x 11 ve 1+2+1 = 1+1+1+1. 

Diğer bir ilginç grup ise Palindromik Smith Sayıları’dır. Bu sayılar baştan ve sondan okundukla­rında aynı değeri veren sayılardır. 666 sayısı hem bir Smith Sayısı’dır.

 (666 = 2x3x3x37) hem Smith sayısı hem de palindromik özelliği bulunmaktadır.

Örnek:  Yukarıda bahsi geçen sayıyı 4937775 sayısını kullanırsak; 

4937775 = 3 * 5 * 5* 65837          

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5+ 6 + 5 + 8 + 3 + 7                 

42 = 42  (4937775 bir Smith sayısıdır. )

Peşi sıra gelen Smith sayılarına da  728 ve 729,  2964 ve 2965 gibi sayılara da "smith kardeş sayıları" denir.

Bilgisayar yardımıyla bir sayının Smith sayısı olup olmadığı bulunabilir. Bunun için java kodlama sistemine göre aşağıda verilen kodlama yapılarak bir algoritma oluşturulabilir.

public static boolean Smith(int sayi) {

    int gecici = sayi, i;

    int asal_carpanlar = 0;

  

    for (i = 2; gecici > 1; i++) {

     if (gecici % i == 0) {

      gecici /= i;

      asal_carpanlar += i;

      i--;

     }

    }

    return basamak_toplami(asal_carpanlar) == basamak_toplami(sayi);

   }

   public static int basamak_toplami(int sayi){

    int toplam = 0;

    while (sayi > 0) {

     toplam += sayi % 10;

     sayi /= 10;

    }

    return toplam;

   }