Üçgende Kenar Bağıntıları

Etiketler : geometri kenarortay matematik üçgen üçgen eşitsizliği

Bir üçgenin çizilebilmesi için belirli şartlar vardır. Bu nedenle üçgen çizimlerini iki adımda inceleyebiliriz. Birincisi; verilen elemanlar üçgen olma özelliğini taşımalıdır. Yani üçgen eşitsizliği ve üçgende açı kenar bağıntıları kurallarına uygun olmalıdır.  İkincisi ise, üçgenin çizilebilmesi için verilen elamanların bir üçgenin çizimi için yeterli olmasıdır. Yani üçgen temel çizim kurallarına uygun olmalıdır. Gerek birinci adımın gerek ikinci adımın ele alınmasından önce, ilk yapılması gereken şey, üçgenin belirli olup olmadığının belirlenmesi için bir taslak üçgen çizmek ve taslak üçgen üzerinde, üçgen olma kurallarına uygunluğu ve daha sonra da üçgenin belirli olma özelliği kontrol edilmelidir. Çizilmesi istenen üçgenlerin açı veya kenarları ile birlikte, açortay, kenarortay, yükseklik gibi yardımcı elemanları verilebilir. Bu durumda da temel üçgen çizim kuralları düşünülerek çizim yapılır. Gerekirse çizim yapılıp yapılamayacağı veya kaç farklı üçgen çizilebileceği kontrol edilerek irdelenir.İki kenar uzunluğu ve bir açısı verilen üçgen çizimlerinde; Büyük kenarın karşısındaki açı ölçüsü veriliyor ise tek bir üçgen çizimi vardır buna karşılık küçük kenarın karşısındaki açı ölçüsü veriliyorsa, verileri inceleyerek tek veya iki farklı üçgen çizilebildiğini ya da verilerin üçgen kurallarına uygun olup olmadığını irdelemek gerekir. 

Bir üçgen, en az biri uzunluk olmak üzere en az 3 elemanı ile birlikte belirlenebilir/çizilebilir, aksi halde üçgen çizilemez veya belirli bir üçgen belirtmez. Açı, uzunluk veya üçgenin yardımcı elemanlarından az biri kenar olmak üzere, 3 ayrı eleman verildiği zaman üçgen çiziminden söz edilebilir. Buna göre bir üçgenin çizilebilmesi için şu çizilebilme sonuçlarına ulaşılır. İki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın oluşturduğu açının ölçüsü verilen üçgenler, çizilebilen üçgenlerdir. İki açısının ölçüsü ve bir kenar uzunluğu verilen üçgenler, çizilebilen üçgenlerdir. Üç kenar uzunluğu verilen üçgenler çizilebilen üçgenlerdir. Bu şekilde ulaşılan çizilebilme şartları (üçgenin belirli olması) ikinci adımda üçgen eşitsizliği ile kontrol edilmeli ve üçgenin çizimi konusunda nihai sonuca ulaşılmalıdır.

Üçgen çizimi ile ilgili yukarıdaki örnek incelendiğinde, iki kenar uzunluğu ve bir açı verilmiş olmasına rağmen belirli bir üçgenin çizilemediği görülür. Bu aşamadan sonra sonucun irdelenmesi, bu şartlarda bir üçgenin neden çizilemediği incelenmeli ve hangi durumlarda üçgenin çizilebileceği hangi durumlarda da belirli bir üçgenin çizilemeyeceği/ yada belirli olamayacağı tespit edilmelidir. Buna göre verilen kenar uzunluğu (örnekte c kenar uzunluğu) değiştirildiğinde üçgenin çizilip çizilemeyeceği ile ilgili bir yargıya ulaşmış oluruz. Aşağıda bu duruma örnek verilmiştir.

**Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, büyük kenar karşısında büyük açı bulunur. Dik üçgende en büyük açı 90 derece olduğu için hipotenüs en uzun kenar olacaktır. Bu durumda sonuç olarak şunu söyleyebiliriz: Geniş açılı üçgenlerde en büyük kenar uzunluğu, geniş açının karşısındaki kenardır. 

***Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği, üçgenin bütün kenarları için ayrı ayrı uygulanmak zorundadır. Üçgenin bütün kenarları, üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır. Eğer üçgenin herhangi bir kenarı üçgen eşitsizliğini sağlamazsa bu üçgen çizilemez. Üçgen eşitsizliğinin geometrik ve cebirsel ispatlarına aşağıdaki bağlantıyı kullanarak ulaşabilirsiniz. (Bkz. Üçgen Eşitsizliği)

**Orta Taban:Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru, üçüncü kenara paralel ve uzunluğu üçüncü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir. Bu uzunluğa üçgende orta taban adı verilir. Esasında bu orta taban uzunluğu, benzer iki üçgenin benzerlik oranından yola çıkarak bulunmuş bir uzunluktur.

**Geniş açılı bir üçgende en uzun kenar geniş açının karşısındaki kenardır. Dik üçgendeki pisagor bağıntısı bu geniş açılı üçgende uygulandığı zaman, üçgen eşitsizliği ile birlikte pisagor bağıntıs kuralı da yazılır. Yani geniş açılı üçgende, geniş açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha büyük olur. Buna mukabil dar açılı bir üçgende de, dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha küçük olur.

**Dar ve geniş açılı üçgenlerde üçgen eşitsizliği yazıldıktan sonra, bazı durumlarda cosinüs teoremi de yazılarak uzunluğu bilinmeyen bir kenarın en küçük veya en büyük değerin bulunması sağlanabilir. 

**Bazı üçgenlerde üçgenin bir açısı, dar veya geniş açılı olarak verilmeyebilir. Bu durumda üçgen eşitsizliği uygulandıktan sonra, bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak için, üçgenin yardımcı elemanları kullanılarak açının dar veya geniş açılı olma durumu tepit edilir buna göre pisagor bağıntısından yararlanarak kenar eşitsizliği yazılır. Özellikle ikizkenar üçgenlerde ikiz kenarlara ait bir dış açının geniş açılı olduğu unutulmamalıdır.

**Bir üçgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir noktadan üçgenin köşelerine doğru parçaları çizildiğinde bu doğru parçalarının uzunlukları toplamı, üçgenin kenar uzunlukları toplamından (üçgenin çevresinden) küçüktür. Bir başka deyişle, üçgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir noktadan üçgen köşelerine çizilen doğru parçalarının uzunlukları toplamının iki katı üçgenin çevre uzunluğundan daha büyüktür. Bu durum üçgen eşitsizliğinin bir sonucudur. Rastgele bir nokta ile meydana gelen üç ayrı üçgende, üçgen eşitsizlikleri tek tek yazılıp toplanırsa bu sonuca ulaşılır. 

**Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile bu kenara ait olan yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Bu nedenle; Alan formülünde a.ha = b.hb = c.hc olduğuna dikkat edilirse, bir üçgeninin kenarlarının uzunlukları ile yüksekliklerinin ters orantılı olduğu görülür. Yani kenar uzunluğu büyürse yükseklik küçülür. Veya tersi olarak kenar uzunluğu kısalırsa, yükseklik büyür.

Kenarortay Eşitsizliği: Üçgende herhangi bir kenara ait kenarortay uzunluğu, üçgenin diğer iki kenarının toplamının yarısından daima küçüktür.

**Bir üçgende kenarortay uzunluklarının toplamı, üçgenin yarı çevresinden büyük ve üçgenin çevresinden küçüktür. 

B ve C dar açıların olduğu bir üçgende, eğer B açısının ölçüsü, C açısının ölçüsünden büyük ise, A kenarına ait yükseklik, açıortay ve kenarortay uzanlukları sırasıyla h yükseklik, n açıortay ve Va kenarortay olmak üzere; h<n<Va olarak sıralanır.